XI. — ÏÏTILITÉ DES DirrÉBElTTIELLES TOTALES

La consiili^ralioi» des diiïtTenli elles totales permet de rcconaaitre s'il existe des relations entre des fonctions données y,,/*!, ...,/„ de «(, arj, . . ., j;„. En elFet :

Si l'on a entre les différentielles d/,, d/^, . . , une, deux, trois, ...relations linéairesel homogènes lellesque

il existera une, deux, trois, ... relations de la forme

entre les fonctions/ et réciproquement.

En elTel, toute équation de la forme (2) dîUérentiée fournit une équation

àf^

■frJf-^=

de la forme (1), et réciproquement, une relation de la forme (i) esprime que sî df^, fif,, ..., df„ sont nuls, c'est-à-dire si fa, /„ ..., f„ sont constants, t//', est nul, c'est-à-dire que/( est constant, ce qui veut dire que y, est fonction def^, . . . , fa, ou qu'il existe une relation de la forme (a).

Cette proposition peut se traduire en d'autres termes. Ed elTel, s'il existe entre les fonctions /(, /j, ... une relation telle que (3) on en déduit (3) ou, ce qui revient ,u même, les n relations

à/, àxi àfx àr, '^'"'^ à/„ fj, ~"'

J/7 àx„ "*" à/t àxii ''

I on tire, en élr

Réciproquement, si cette relation a tieu, il existera quanlil(î>iX).Xi, ...,Xa que l'on peut apptlerrfj-,, dx-j, dxa telles que

ou telles que l'on ait à la fois

rf/,=

rf/« = o

c'est-à-dire en même temps /", ^ const., f^=. consl ;

donc la relation (4) entraîne une relation telle que (2). Le déterminant {{) est ce que l'on appelle le Jacobien ou le déterminant da système des ionctions/,,/;, . . .; on le représente souvent par la notation

<'t^ll3^ «/.)

On volt que ia condition nécessaire et suffisante pour qu'a existe une relation entre /, , /!., ...,/„ est que leur Jacobien soit nul-

Zn. — nouons sue les INTÉfiRAISS.

Nous avons vu (p. aao) que, si une fonction admettait une fonction primitive ou intégrale, elle en admettait une infinité diUérunt entre elles par une constante. Dans les traités de Calcul intégral un peu étendus, on donne la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction admette une intégrale, et l'on donne de l'intégrale une définition un peu plus générale.

cnAPiTBE VIII. aSS

' Lafonctioii primitive de /"(j;) ou, plus correclemenl,l'tnlégrale delà différeiitieUe/(^)(/j; se désigne parla notation

et celte notation représeate l'une quelconque des intégrales àe J{x)dx. Ainsi on a

*t en giincral

On peut dél valeur parltcul

fx" dr^-

f/'(,x)dx = /(x)~i-cansi.

On peut déterminer la constante en donnant à x une valeur particulière a, et il est facile de voir que /'(j:) — /(à) est la valeur de l'intégrale de /'(x)dx qui pourx=:a s'annule. Si l'on fait x ^= &, la valeur particulière/(6) — f(a) de l'intégrale ainsi obtenue se représente par la notation

l* fy'{x)dx^f(b)-/(a),

et porte le nom d'intégrale déCnie de /{x) prise entre les limites a et b, on lit la formule précédente : somme de a à b àtf{x)dx cgate/(rt)— /(t). L'intégrale sans limites s'énonce somme de /'{x)dx. La raison de ces dénominations et la notation / qui est l'ancienne forme de l'S déulent du théoFL'me suivant :

L'intégrale

r{x)dx.

est ta limite vers laquelle converge la somme «u A = quand n croit indéjiniment.

1A1TË DALGÊDRE.

/(a + /,)-/(a) = hf(a)-t- hi,,

;d ajoulaDt,

lAl =^((i+n — iA)-t-/iE,,

/(6)-/(a) = A[/'(a)+/'(a^-A)...+/'(fl-^/l-.fi)]-^ASî;

or nous admettrons que, quand k lend vers o, lous les e tendent vers o. En appelant E le plus grand d'entre eux, Aïe sera moindre que n/iE ou que (i> — a)E, c'est-à-dire tendra vers o, et l'on aura

/(b)-/(a) ou

d^ = lim[fia)^

-iA)lA.

Cette di^moDStralion n'est pas très rigoureuse, mais elle suffit ponr le moment, la question qui nous occupe devant être reprise pins lard et étudiée avec beaucoup de soin. Maintenant, appliquons ces considérations à un exemple et reprenons la question traitée à la page sas.

Trouver le volume d'un segment sphén'que à deux bases.

Soient, comme à l'endroit cité, R le rayon de la sphère, k la hauteur du segment; supposons l'une des bases variable, soit r son rajon, z sa distance au centre de la sphère, soit dz un accroissement donné à l, le volume V du segment prendra l'accroissement AV ou dt' aux termes du second ordre près; cet accroissement est, aux termes du second ordre près aussi, égal à itr^rfs, car la quantité uégllgée d.ins son évaluation est inférieure à

-Ar)'-

-Mrf-;