I. — PBfalimiAIBES

Considérons une fonction ^=/(a:) de x^ et donnons à X raccroissement A:r, y subira un accroissement

Les accroissements Ao:, Apportent souvent le nom de différences finies ou simplement de différences de x et dey. Ay est une fonction de x^ elle a une différence A.Ay que Ton désigne par A^j/'et qui porte le nom de différence seconde de y ; la différence de ^^y se représente par A'y et porte le nom de différence troisième de y^ et ainsi de suite.

Appliquons ces considérations au polynôme entier

Si, pour abréger, nous supposons Ao: = A, nous aurons

Ax = Ao(a?-+- A)« -+- Ai(ar -+- A)"*-» -+- A«i(a? -h A)-*- A,,, — XoT** — Aiar"»-* . . . — A,i,-iâ7 — A,^ OU

Ar = mAoa?«->A-h|în— I A|H ; ^Aq |ar''«~»A«-h...A;„i/(i,

en sorte que ÙLy sera un polynôme de degré m — i dont le coefficient de x"^^* sera niA^hj la diflérence seconde A*j' sera un polynôme de degré m — 2, et le coef-

a6o TRAITÉ D*ALGÈBRE.

ficient de x'"~^ dans A^^ sera m(m — i)Ao A', Enfin,

A*»^ sera égal à m(m — i). . . 2 . i A-o A*" et les différences suivantes seront nulles.

Nous nous bornerons à citer les formules suivantes que le lecteur vérifiera sans peine.

Uj Vj Wj • . . désignant des fondions de x et a, 6, e, . • . des quantités indépendantes de x, on a

^{au ± bv ±1 cw , , ,) = a \u ± b ^v ± c Acp . . .,

Ai/p = M A(» -4- i» Am -h Am Ap,

u p Aw — H Ap A — = — — > • • • •

V r(t'-+-Apj

n. — CALCUL DE A'' Y.

On peut calculer A"^ directement comme il suit : Posons Ax = A, et

on aura

et, par suite,

de ces deux formules on déduit par soustraction, en observant que ùkyt — A^o est égal à A^^o?

( -i ) ^ Vo = r« — vi -+- yo,

et, par suite aussi,

^ V*i = r» — ^r J -^ ri »

en retranchant ces formules membre à membre et en observant que A^^i — A^^'o est égal à A'^o

( 3 ) Aî'^'o = r I - 3^1 -h 3 j', - ro.