L. - yihcbre, III

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THÉonfeME II. — Le polynôme

îend vers Aq quand x tend vers zéro, et il deuient infini pour X = oo . Si les coefficients A^, A|,i i , . - . , A© sont réels pour de très grandes valeurs de x^ ce polynôme sera très grand et de même signe que son premier terme A,» jc*. Pour x = o on a évidemment F (x ) = A© , et, comme F (x) est continu, quand x tend vers zéro F(x) tend vers A«.

, On peut écrire

Quand le module de x croît indéfiniment, - tend vers zéro :

donc la quantité écrite entre parenthèses tend vers i, et F(x) se composant de deux facteurs, dont l'un hmX"^ devient infini pour x = co et dont l'autre tend vers i, est infini lui-môme pour x = ce .

Enfin, si les coefficients A^, Am-.\^ . . ., A© sont réels, on voit que la quantité entre parenthèses ayant pour liniile I finit, pour de grandes valeurs de x positives ou négatives, par devenir positive; F(x) est alors de même signe que K^x^, c. <^. f. d.

Rappelons enfin que

Si le polynôme F(x) s'annule pour x = a, il est diui^ ible par x — a, et s'il s'annule pour x = a, x = 6, . . . , X = /, on peut le mettre sous la forme

Si un polynôme est nul quel que soit x, ou même seulement pour plus de valeurs de x qu'il n'y a d'unités dans son degré, il a tous ses coefficients nuls.