CHAPITRE PREMIER
Deux polynômes égaux pour plus de valeurs de x qu'il n'y a d'unités dans leurs degrés sont égaux quel que soit X et ont leuf s coefficients égaux deux à deux,
U. — THÉOBÉIEE DE D'ALEMB£BT.
Toute équation de la J orme
dans laquelle F(z) représente un polynôme entier à coefficients réels ou imaginaires de la forme a -h (5 \j — i , admet nécessaii'ement une racine de la même forme.
Ce théorème est souvent attribué à Cauchy. Voici comment Gauss s'exprime à ce sujet dans un Mémoire publié
« Prima theorematis demonstratio illustri geometnc
d'Alembert debetur [Recherches sur le Calcul intégral^
Histoire de l'Académie de Berlin, année 1746, p. 182
et suiv.). Eadem exstat in Bougainville [Traité de Calcul
, intégral; Paris, 1704, p. 47 et suiv.). »
Gauss, dans le Mémoire en question, discute successivement plusieurs démonstrations données par d'Alembert, Euler, Foncenex et Lagrange; enfin il propose la sienne, qui, extrêmement remarquable en elle-même, prête cependant à des objections sérieuses.
Pour démontrer le théorème qui nous occupe, considérons Téquation
(i) A^3'"-hA;„«,3'''-»H-A,„j3'"-*-+-...-f-Ao = o ou F(»)=o,
dans laquelle Aq, A|, A3, . . . sont des coeiBcients réels on
(*) Cauchy, né vers 1789, n'availdunc guèro plus de dix ani.
4 TRAITÉ D'ALGÉBBB.
imaginaires. Posons
zz=r[cos$ -h ^— I sm$), A/=p/(cos W/-4- v' — J sinw/).
Le premier membre F(z) de Téquatioi (i) prendra la forme
F(3) = 2r'(cosiô-f- \/ — i siDi6).p/(cos«/-4- v^— i sinM/)
ou
F{«)==2p/r'[cos(/0 + w/)4- v'--^sin(/Ô-4-«/)]==P-hQv^irrj
l'argument de F{z) est Tune des valeurs de Texpres^ion
, , 2o//^sinf/ô -t- w/) O
( 2 ) arc tan'' — — -. )—- r^ arc tan? /^ •
Ceci posé, laissons r constant et faisons varier 0 de 9^ k ^o-H 271, l'expression précédente subira un certain accroissement positif, négatif ou nul qui ne pourra être qu'un multiple de 27r, puisque l'argument de F(z) est déterminé à un multiple de 2Trprès, et que, pour& = 6o ct0 = ôo-hair, l'expression placée sous le signe arctang a la même valeur. Cependant l'accroissement en question pourrait être indéterminé si P et Q s'annulaient en même temps; or le
module de F(^) est y/P^-f-Q^. Si donc nous admettons que P et Q puissent être nuls à la fois, nous admettons par cela même que F(^) peut s'annuler; c'est le théorème qu'il faut établir. Admettons donc que P et Q ne puissent jamais s'annuler ensemble, et alors la variation de l'expression (2) sera nécessairement un multiple de 2 71.
Maintenant, considérons deux valeurs de r très voisines, à savoir /j et /•2; soit Pi et Q^ P2 et Qj ce que deviennent P et Q quand on y fait /• = /'i, /• = z^, les rap-
CIUNTIIK rBEMIfiB 3
j^ el -Tj! diCTëreront peu l'un de l'niilre, et les arcs
■dont ils sont les taDgeoles difTércroiiL peu l'un de l'autre lu on les a choisis peu dilTérenls pour O^Q^- Les arcs en LqnesLion seront encore peu difféienls pour I'i=o ou
^Pi^o, parceque leurs cotangentes -~ et ■- seront peu
différentes; les différences des arcs considérés pour n^ ^0+ 371 seront donc peu différentes, et, par suite, si EViin des arcs a varié de «jr, il faut que l'autre ait varié aussi Pde nit, sans quoi leur différence serait voisine d'un niul- ■Jtîple de n, puisqu'alors leurs tangentes sont peu différentes; cette différence ne resterait donc pas très petite.
En résumé, si P et Q ue s'annulent à la fois ni pour/' = /'«, lî pour r = rt, ni pour des valeurs intermédiaires de r, de
telle sorte que l'on puisse admettre que j=p <^L -^ diffèrent
prieront de quantités égales pour une variation de an de l'argument 6. Ceci revient à dire que, si P et Q ne peuvent s'annuler en même temps, ou que si F^z)^ u n'a pas de racines, la variation de l'expression (a) pour uue variation Aie de 6 sera la même, quel que soit r.
Or, si r est très petit, l'expression ( a ) se rtduit à peu
arctan°; -° ou àwB + Air, A désignant un entier,
t varie très peu avec 9; donc sa variation totale, quand S ^yarie de iic, est nulle.
Au contraire, si r est très grand, l'expression (a) se
■réduit sensiblement à arctaug-
âH- w„-h Alt, A désignant un entier; cette quantité varie
! amw quand ô varie de an.
La variation de l'expression (a) n'est donc pas constanic
6 TaAITB D^ALGÂBRE.
quand /* varie; il faut en conclure, d'après ce qui précède^ que F{z) doit s'annuler pour certaines valeurs de r et 0, c'est-à-dire au moins pour une valeur de z.
ni. — COROLLAIRES DU THÉORÈME DE D'MXMBEET.
CoROLLÀiiiE I. — Tout polynôme F[z) du degré n peut se mettre sous la Jorme
Fb désignant une constante.
En effet, si nous posons F(5) = o, l-équalion ainsi obtenue a une racine. Soit ai cette racine, F(5) s'annulant pour 5 = a, est divisible par z — a, ; on peut donc poser
(1) F(^) = F,(;5)(z-aO; on trouvera de la même façon
F„ désignant une constante, F«| un polynôme du premier degré, F^., un polynôme du second degré, etc. En multipliant les équations (i), (2), ..., (n) membre à membre, on a
F(;ï) = F«(a?— ai)(ar— a,)...(a? — a«).
Nous admettrons maintenant que la décomposition ne peut se faire que d'une seule manière, ainsi du reste que nous l'établissons page 10.
Corollaire II. — Si donc on pose
