CHAPITRE PREMIER

V équation ainsi obtenue peut se mettre sous la forme

(.r — ai)(j:— a,) . . . (j: — «„) = o,

à laquelle on peut satisfaire en posant x = âC| , «2» • • • * ^/f « donc toute équation du degré n a en général n racines. Il pourrait se faire que quelques-uns des facteurs z — «i, - — ^2; • • • fussent égaux, et l'équation

n^aurait pas n racines; mais alors on considère comme racines doubles, triples, etc., celles qui correspondent aux facteurs binômes qui entrent deux, trois, etc., fois dansF(3). A Taide de cette convention, on peut énoncer ce théorème général :

Toute équation du degré n a n racines.

Corollaire III . — Supposons le polynôme F[z) à coef ficients réels; si l'équation F[z) = o admet pour racine

|ui j V ^' — I , elle admettra un nombre égal de fois pour

racine fx — v y — i .

En effet, décomposons F(z) en facteurs linéaires, nous

aurons

Ce polynôme ayant ses coefficients réels ne doit pas

changer quand on change \' — i en — ^ — i, ;: restant réel (*); en désignant alors par a\, a'j, ... ce que de-

(*) En géueral, si F(x) est iino ronclion rationnelle, et si l'on a

F(^-i) = aH-^^~ on aura

F(— v^37) = a^yCr7.

En cfTot, pour former F(^— i], on forme F(i) en traitant i comme une

viennent a^, a^y ... par ce changement, on a

(3 — ai)(3— a,)...(z — «;,) = (s — a, )...(z — a„).

Comme un polynôme de degré Ji ne peut s'annuler pour plus de n valeurs de sa variable, il en résulte que les quantités «4, «21 ' ' • •, oTn et y\y cr\,^ . . . , «^ sont égales deux à

deux; donc ii-\-vy[—i sera aussi souvent racine que

fX V y/ I. C. Q. F. D.

Cohollaihe IV. — Un polynôme réel est décompo^ sable en un produit de facteurs réels du premier et du second degré.

En effet, considérons toujours la formule

F(s) = F/»(- — «iK-— «2)... (5— a„).

Si l'on considère deux facteurs binômes correspondant à deux racines conjuguées a -f- vy — 1 , ^ — v \j — i , leur produit

se réduit à un trinôme réel du second degré. Or, les racines imaginaires étant conjuguées deux à deux, il en résulte que F(z) se réduit, comme nous l'avions annoncé, à un produit de facteurs réels du premier et du second degré.

Ce corollaire est le théorème que Gauss substitue au

quantité dont le carré serait — i ; F (y^ — i) ne peut donc différer de F ( — y^— i )

que par le si{;nc de i ou de ^ — i.

Ce raisonnement no s'applique évidemment plus aux fonctions irrationnelles ou transcendantes, car les opérations qui ne dépendent pas exclusivement des quatre opérations de rArithmetique no peuvent pas se définir comme les premières.