BELATIONS ENTRE LES GOEmCIENTS ET LES RACIHES

D'UHE ÉQtJATION ALGÉBRIQUE.

Théorème I. — Si l'on désigne par <7, jS, y, . . ., X /e5 racines de l'cijualion

( 1 ) /. ./• = r/ç -h «, J7 -I- «,.r* 4- . . . -h iin-\ ^^^^ 4- -ï^" = O,

on aura les relations

tin-i^ ^«.5 — c<3-*- «7 -f-.. .-H j'î'/ 4-.. .,

En effet, le premier membre de Téquation (i) peut se mettre sous la forme

Or, nous avons appris (t. Il, p. 8) à Ibrmer ce produit Le coefficient de x" est i ; celui de x"~* s'obtient en prenant le second terme dans chacun des facteurs binômes et en ajoutant les résultats; celui de x""^ s'obtient en multipliant entre eux les seconds termes de deux facteurs pris de toutes les manières possibles, etc., ce qui fournit les relations (2).

10 TBAITé D*ALGàBRK.

Remakque. — Puisque le théorème précédent fournit m relations entre les racines, il semble que Ton pourrait profiter de ces relations pour résoudre l'équation (i) ; eSec^ tivement, ces relations peuvent être utiles dans certains cas, mais on peut montrer que, en cherchant à éliminer (3, y, . . . y ^, Téquation en a que Ton obtient ainsi ne diC< fère pas de (i). En effet, si l'on multiplie par a""* la première des équations (2), par a""*^ la seconde, et ainsi de suite, si Ton ajoute les résultats, on trouve, réductions faites,

fl;,i a"-* -f- a^-i a'*-* 4- . . . -h rt'o = — a**,

équation identique avec (i). On aurait pu écrire celte formule a priori, en observant que le résultat obtenu en éliminant n — i quelconques des n racines devait être toujours le même à cause de la symétrie des formules (2); Iç résultat de l'élimination devait donc admettre pour racines a, j3, . . . , X, c'est-à-dire être identique avec l'équation (i).