V. — DES DIVISEUBS ALGÉBRIQUES

Si l'on désigne par F(x) un polynôme du degré w, nous avons vu que ce polynôme s'annule en général pour m valeurs réelles ou imaginaires de sa variable x, ou, pour parler plus exactement, nous avons vu que tout polynôme F(a:) du degré m pouvait être mis sous la forme d'un produit de m facteurs linéaires multipliés par une quantité indépendante de x. Cette décomposition ne peut évidemment se faire que d'une seule manière; en eflet, si l'on pouvait avoir à la fois

F(x)r=A (x — «)>* (jT — j3)v..., Y[x)z= a! [x - ol'Y [x ^ P'Y , , .,

A et A' désignant des quantités indépendantes de a:, on en

CSAPITAG J'RbUIEIt.

A[^-«]-(x-pi-=...=A'(^-.').-'(^3' )•'.-..

Or, le premier membre s'annuUnt pour x =^ «, p, et

seulement pour ces valeurs de x, il doit en être de même du second, ce qui ne peut avoir lieu que si les quantités «', p', . . . sont respcclivenienl égales à a, ^, ... ; en outre, je dis que f< =^ a'. En effet, si l'on supposait, par exemple, ft>f*', en divisant les deux membres de l'équation précédente par {x — a)'', le premier membre s'annulerait encore pour X = a, tandis que le second serait essenliellement différent de zéro. On a donc ji := u.', v =^ v', ... et par suite A = A'; les facteurs linéaires d'un polynôme jouent donc le même riMe que les nombres premiers en Arithmétique.

On appelle plus grand commun diviseur entre deux polynômes Pe^Q le produit des facteurs linéaires communs à ces deux poljniJmcs multiplié ou non par un facteur constant.

PaOBLÈME. — Trouver le plus grand commun dit'iseur entre deux polj nômes U et V.

Pour résoudre ce problème, nous suivrons une marche I analogue à celle que l'on suit en Arithmétique pour trouver * le plus grand commun diviseur entre deux nombres; nous diviserons U par V en supposant le degré de U égal ou supérieur à celui de V. Si V divise U, il sera le plus grand commun diviseur cherché; sinon, en désignant par Q le quotient et par R le reste, nous aurons

n = VQ-(-R.

Or R, en vertu de celle formule, est identique à U — VQ; I il doit donc forcément admettre les facteurs linéaires

communs à U et V; donc le plus grand commun diviseur entre V et R contient les mêmes facteurs que celui qui existe entre U et V. De mi!me, U admettant les facteurs linéaires commiiDS à V el à R, le plus grand commun diviseur de U et V contient les mêmes facteurs que celui de V el R; donc enfin les deux plus grands communs diviseurs en question, se composant des mêmes facteurs linéaires, sont égaux, â ud facteur constant près, c'est-àdire sont les mêmes puisque nous faisons abstraction des facteurs constants. Mais Pv est de degré inférieur à V; donc la recherche du plus grand commun diviseur de V el R est plus simple que celle du plus grand commun diviseur de tJ et V.

Divisons V par R; si la division se fait exactement, R sera le plus grand commun diviseur cherché ; sinon, en appelant Q' le quotient et R' le reste, on aura

V=IIQH-R'.

Un raisonnement semblable à celui que nous venons de faire nous conduit à diviser R par IV; si la division se fait exactement, R' sera le plus grand commun diviseur cherché,' sinon on posera

ll = R'Q''+ H",

et l'on divisera R' par R*, et ainsi de suite, jusqu'à ce que Ton tombe sur un reste divisant te précédent (et dans ce cas ce reste est le plus grand commun diviseur cherché), ou bien jusqu'à ce que l'on tombe snr un reste indépendant de x, et dans ce cas il n'existe pas de diviseur commun enlre U et V.

Remarque. — On n'altère évidemment pas les facteurs linéaires du reste d'une division algébrique en multipliant chaque dividende partiel par une quantité indcpendante de la lettre ordonnatrice x; car celte multipUcation n'io-

ciiArirnE prruier. i3

troduit dans le reste que des facteurs indépendanls de x. Od pourra donc, pour éviter les déDominateurs, multiplier par des facteurs convenables les dividendes partiels que l'on rencontre dans la rcchei'che des restes successif'ii dont le dernier doit être le plus grand commun diviseur.

TaÉonÈHE I. — Pour que le polynôme F{x) admette n fois le Jacleur x — «, ilfitul et il suffit que ce poljnùnie s'annule pour x- ^ a, aimi que ses n — i premières dérivées.

En d'autres termes :

Pour que l'équation V(x) = o admette m Jois la racine a, il faut et il suffit que F(x) s'annule pour x^a, I ainsi que ses n — i premières dérivées. :

En effet, on a identiquement

et par suite, en posant dans la formule de Tajior (t. H, :== «, /i = x — a, il vient

ru désignant un ensemble de termes qui contiennent tous

I le facteur [x — «)"; les termes qui précèdent Û étant

de degré inférieur à [x — a)" représentent le reste de la

division de F(^} par {x — »)", et, pour que F{x) soit

divisible par (x — a)", il faut que ce reste soit nul quel

^^ que soit x, et, par suite, quel que soit x — a; on devra

^K-llonc avoir

l4 ' TRAITÉ D'ALGéBRE«

Réciproquement, si cette condition est satisfaite, il est bien évident que F (a:) sera divisible par [jo — «)" (*).

Théorème II. — Le plus grand commun dwiseur entre F{x) et F' (a:) se compose de tous les J acteurs linéaires multiples de F (a:) élevées chacun à une puissance égale à leur ordre de multiplicité diminué de i .

En effet, soit

on aura (t. II, p. i65)

F'(:r) = Afx(jr — «)»*-» (x — P)"-!- ,. .

-f- Av (.r — uY[x — (3)*-' -h

Les seuls facteurs linéaires communs à F(a:) et F' (or) sont X — a, X — (3, . . . , et j: — a n'entre que [>. — i fois dans la dérivée, [x — (3), v — i fois, etc.; le plus grand commun diviseur entre F (a:) et 1*^(0:) est donc

On verrait de même que le plus g^rand commun diviseui entre F(x) et ¥"{x) est

et ainsi de suite. c. q. f. d.

Applications. — i° a:'" — i a pour dérivée mx^"^ ; si Ton divise x^ — i par ma?"*"*, ou, pour éviter les déno-

(*) Nous verrons plus loin, Cbap. X, § VIII, comment on exprime par des relations entre les coefficients qu'une équation a une racine double, triple, etc.