CHAPITRE PREMIER. l

minatcursy si Ton divise //ix*" — m par mx'"""*, on trouve pour reste — în\ x"^ — i n'a donc jamais de diviseur commun avec sa dérivée; donc x^ — i = o n'a pas de racines égales.

2*^ Cherchons le plus grand commun diviseur entre

x^ -f- /^x* -+- 7.r -+- r = U cl sa dérivée

3x'-+- o^px -4- 7 = U';

le reste de la division de U par U' est

à un facteur constant près. En divisant U'= 3jf'--H ^px-i-r/ par ce reste, on trouve, à un facteur constant près, pour nouveau reste

en égalant ce reste à zéro, Téquation proposée acquiert deux racines égales.

La méthode du plus grand commun diviseur est bien simple en théorie, mais d'une complication inouïe dès que l'on entre dans le domaine des applications; on cache cette diiJliculté aux élèves en leur donnant des exemples choisis d'avance et pour lesquels les calculs se font avec facilité. Si le lecteur veut se convaincre du fait que j'avance, il n'a qu'à chercher les conditions pour qu'une équation du quatrième degré

x' -+- p.r^ -f- (jx* -T- r.r -h s = o

ait ses racines égales deux à deux. On doit exprimer que

le plus grand commun diviseur est du second degré; les

calculs sont iort longs, et l'on arrive aux conditions bien

simples

l6 TtlAITÉ D'ALGÈOBE.

si faciles à obtenir en exprimant que le premier membre de Téquation est un carré parfait.