L. — ^igitre, III

>ft TRAITÉ D*ALGÉnilE.

Les équations V| = o, V,= o, ¥3 = 0... que l'on forme ainsi par de simples divisions feront alors connaître les racines simples, doubles, triples, etc., de F( j?) = o.

Remarque. — Toute racine d'une équation F(jc) = o algébrique, seule de son degré de multiplicité, sera alors fournie par une équation V,- = o du premier degré, et, comme V/ se trouve par de simples divisions, cette racine sera une fonction rationnelle des coefficients de Téqu a t ion; ainsi :

Théorème I. — Toute racine d'une équation seule de son degré de multiplicité est Jonction rationnelle des coefficients de l'équation,

Vn. — D£ L'IBBËBUGTIBILITÉ.

On dit qu'une équation F(j?) = o est irréductible quand, en considérant ses coefïicients comme des fonctions rationnelles de quantités données p y y,r, ... (qui peuvent, être ces coefficients eux-mêmes), elle ne peut pas se décomposer en d'autres équations à coefficients rationnels par rapport à ^, </, r, . . . .

L'irréductibilité d'une équation est donc une chose relative; ainsi, par exemple, l'équation X'-\-i^=^o sera irréductible si l'on considère comme donnés tous les nombres réels, et seulement ces nombres; elle devient réductible dès que l'on adjoint à ces nombres l'imaginaire \J — I .

Une équation dont les coefficients sont donnés esH réductible quand elle a des racines égales, etc.

Théorème II. ~ Lorsque deux équations, f=o F(a:) = o, ont une racine commune, si f=zo est irréductible, F(x) = o admet toutes les racines def^= o.

Eneffel, cherchons le plus grand commun diviseur entre felF : ce plus grand commun diviseur sera au moins du premier degré cl à coelTicients rationnels par rapporl aux qiianlitës données, puiscjue la recherche du plus grand commun diviseur n'exige <]ue des divisions. Maisy' étant divisible par D, qui est ralionncl, /"=; o ne pourra être irréductible que si /~est le produit de D par une constante; mais alors F est divisible pary, et F ^ o admet toutes les racines de/= o. {F est une puissance de/.)

CoROLL*inE I. — ITfie eifuation iriéducti/>!e a toutes tes racines simples. (Les cueflîcients sont donnés. |

^ta^ les racines multiples sont donnces par des équations coefficients rationnels.

ConoLLOss II. — Si une équation à coe/Jtcients entiers niiiitet la racine a + yè, où \[b est irrationnel mais où n vt b sont entiers, elle admet aussi la racine a — y/t, car a-i- t/f} et a — Y " *""' racines de l'èi/ualion irrcduclihle

s tous les nombres rationnels.

CoKOLLAiBE III. — Si une êt/uatîon à coe/Jtcients réels Imet la racine a+h \j — i de l'équation irréductible

elle admet taiUre racine t,

, Tin. — BEHuani: au sqjct dis ÉanAnons atiELcoHainia.

F Nous nous occuperons plus spécialement des équations IpDt le premier membre est de la forme yjx) ^ o, /(x)

20 TR\ITÉ d'algèbre.

désignant un polynôme entier; mais souvent nos raisonnements s*appIiqueront à des équations quelconques : nous en préviendrons toujours le lecteur. On dit qu'une équation yi[x) = o est algébrique ou transcendante, suivant que la fonction f est algébrique ou transcendante.

Quand y*n'est pas un poljnome entier, on dit que a est racine dWdre de multiplicité a Ae f[x) = o, a pouvant être

f(x] entier ou fractionnaire, si - — ^—'- a une limite finie cl

dilTérenlc de zéro pour x = a.

TnéonÈME. — Si f[x) a ses n premières dérisfées finies et continues pour x = a, la condition nécessaire et suffisante pour que f[x) = o admette n fois la racine a (/i étant entier, bien entendu) est que : i^ f(x) soit nul ainsi que ses n — i premières dérivées pour x = rt ; 2° que /" [a) soit différent de zéro.

En effet, on a par la formule de Taylor, applicable au moins pour de petites valeurs de x — a,

0 désignant un nombre compris entre a et x', pour que , ^' — ;- soit fini et diflerent de zéro, il faut et il sufit que

(JT — «)'* *

/(/,) = o, f{a) = o, ..., /n-^(a) = o, lim/'»(0)>o;

mais dire que Vimf'* ( 0 ) doit être différent de zéro, cela veut dire que/" (a) doit être lui-même différent de zéro, car f" (6) tend vcrs/(ri).