CHAPITRE PREMICR
Remarque. — En augmentant d'une quantité convenable les racines d'une équation, on obtient une équation transformée de même degré que la proposée. Supposons que Téquation proposée soit du degré n ; si Ton pose alors
le terme en x' disparaîtra de Téquation transformée, et Ton voit que pour faire disparaître ce terme il faudra résoudre l'équation précédente, qui est de degré n — /. Les solutions feront alors connaître les quantités dont il faut augmenter les racines de l'équation proposée pour faire disparaître le terme en x* de la transformée. On voit que pour faire disparaître le terme indépendant de x il faudrait résoudre l'équation
ce qui revient au fond à résoudre l'équation proposée. On conçoit, en effet, que, la transformée ayant alors une racine égale à zéro, il faille diminuer chaque racine de la proposée d'une quantité égale à l'une d'elles, ce qui suppose que l'on sache résoudre celle-ci.
L'évanouissement du terme en a"~* dépend de la résolution d'une équation du premier degré
Si l'on a
F{.T) = a„.v'' -^ a„iX"'-^-\-, ,,-haQ, l'équation précédente pourra s'écrire
— na„/i H-a„«j = o;
d'où l'on déduira
24 TBAITÉ D ALGEBaS.
et l*équatioD
ne contiendra pas de terme en x""*.
Par exemple, l'équation générale du troisième degré
pourra toujours se ramener à la forme
j:'-f- pjP -f- <7 =r o.
A cet effet, il suffira de remplacer x par x — 5— et de diviser le résultat par le coefficient de x^ dans la transformée.
L'équation du second degré
.T*-{- px H- ^ = O
se ramènera à la forme
En remplaçant x par x — y les racines de la transformée sont
celles de la proposée sont donc
Z. — RECHERCHE DES HACIHES GOHHEISURIBLES. Théorème I. — Une équation de la forme
x^-h a^-x-J^'^ 4-, . . H- r/jj- -f- a^=: o,
CRAPITRB PREMIER. 25
dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de X est l'unité et dans laquelle les autres coefficients sont entiers, ne saurait avoir de racines fractionnaires.
En effet, si a; = - satisfaisait à cette équation, p et q désignant des entiers premiers entre eux, on aurait
pn pn^X p
OU bien, en multipliant par y"""*,
pn
et l'on déduirait de là pour— une valeur entière, ce qui
est absurde puisque p'^ et q sont premiers entre eux. (On sait, en eff'et, que si y:; et y sont premiers entre eux, /?" et q le sont également. )
Si Ton donne une équation à coefBcients entiers de la forme
et si Ton change x en —y cette équation prend la forme
Ses racines ont été multipliées par an, mais, en vertu du théorème précédent, elle ne contient plus de racines fractionnaires; la recherche des racines commensurables se ramène donc en dernière analyse à la recherche des racines entières.
Théorème II. — Les racines entières de l'équation à coefficients entiers
F(j:) = x'»-h #ï,,t.r''-»-f-. . .-f. rtj.r -h <7o= O
ne peuvent se trouver que part, nier terme.
i les iliviseurs de to/i der-
:ine entière de celle équalion, par X — u{l. I, p. 41); d'après
Soit, en effel, d F(j:) devra êlre di
la manière même dont se forment les dilTërenls termes du quotient (t. l,p. 4'}' °° *oî^ ^"^ *^^^ termes auront def coerficients entiers. Or, de quelque manière que l'or opère la division, on doit toujours trouver pour quotient le même poIjoAme. Nous allons alors ordonner par rapport aux puissances croissantes de x et nous diviserons F(a) par w — j?, ce qui ne fiiît que clianger le signe du quotient; les coefficients devant être entiers, Og : m, premier terme du quotient, devra donc être un nombre entier, ce qui démontre notre théorème.
En poursuivant le raisonnement précédent, îl est facile de constater si le nombre u, diviseur de a^, est une racine de F [x'j ■= o. Achevons la division : si dans le courant de l'opération nous rencontrons un coefficient fractionnaire, nous nous arrêterons, car oi ne sera pas racine. Cette méthode a l'avantage de fournir immédiatement une équation débarrassée de la racine m, de degré inférieur à F( J:^), partant plus facile à résoudre et admettant du reste toutes les autres racines de F(jr).
Pour bien faire saisir l'esprit de la méthode précédente, nous l'appliquerons à l'équation
x^— 8-r'-i-^j-' + ^^j;» iGo.r + 3' = o;
nous vérifions immédiate meot que + 1 et — i ne sont pas racines ; il faut essayer successivement les diviseurs de 3a : nous commencerons par les plus petits, les calculs éUnt ainsi plus faciles. (Nous verrons un peu plus loin qu'il n'est pas toujours nécessaire d'essayer tous les diviseurs, parce que l'on détermine facilement des nombres au delà desquels il n'existe pas de racines de l'équation.)
CHAPITRB PREMIER.
Si Ion essaye le diviseur a et si Ton divise
32 — 1 6oar -h 74 -^^ ^~ 7 •'^' — Su*-}- x' par 2 — X, on trouve pour quotient
iG — 7227 -f- .r' -H 4^^ — ix^. . .;
le terme en x^ donne un reste; donc 2 n'est pas racine : c'est du reste ce qu'indique la suite de la division. On verrait de même que — 2 n'est pas racine. Si l'on divise par 4 — -3;, on trouve au contraire pour quotient exact
En divisant de nouveau par 4 — J^, on reconnaît que 4 est encore racine, et l'on trouve pour quotient
On est ainsi ramené à chercher les racines de l'équation
qui n'admet pas de racines entières.
EXERaCES ET NOTES.
