L. — Algthrt, Ul
34 TRAITÉ D^ALGÉBRB.
Pour résoudre une équation algébrique, on la débarrasse de ses racines multiples par la méthode donnée (p. i5); pour résoudre une équation transcendante, on essaye également d'en faire disparaître les racines multiples, maïs souvent on ne pourra pas constater leur présence et encore moins s'en débarrasser. Cela fait :
i" On cherche des limites au delà desquelles il n'existe plus de racines; afin de diminuer rintcrvallc dans lequel on doit chercher les racines, on essaye de resserrer autant que possible ces limites : nous verrons comment on peut trouver de telles limites.
2° S'il s'agit de résoudre une équation algébrique, on procédera à la recherche des racines entières, parce que cette recherche simplifie toujours l'équation, mais on ne procédera à cette recherche qu'après avoir trouvé les limites des racines, afin d'éviter les essais infructueux autant que possible.
3'* On cherche des nombres séparant les racines, c'est-àdire tels qu'entre deux de ces nombres il n'existe qu'une seule racine de l'équation à résoudre.
Le but de ce Chapitre est de montrer comment on peut séparer les racines d'une équation.
Quand ces opérations préliminaires sont terminées, on ap|)lique alors les méthodes d'approximation, qui ieront l'objet du Chapitre suivanl.
n. " PROPOSITIONS FONDAMENTALES.
Nous allons avoir souvent besoin de former la valeur d'un polynôme donné pour une valeur donnée de sa variable : voici le moyen le plus expcditif d'arriver au résultat.
Soient m la plus haute puissance de x, a/ le coefficient de jc', s la valeur numérique attribuée à x; après avoir
formé le prodail i(a„, on y ajo le résultat par s. On ajoute «m.
LÎplie ce nouveau résultai par s, el ai régie n'a pas besoin d'être démontrée.
Thëohème. — Désignons par F( j ) u en X à coefficients réels.
l" Si¥{a)elF{l>}sont de signes cor,
te «m i et l'on multiplie ( au produit et Ton mul-
nsi de
jite. Cette
I poljnôme entier mires, l'équation
admettra au moins u
e réelle comprise entre a et b, 1 tout cas un nombre impair de racines comprises entre ces limites,
t" SiF(a) et F[b)sont de marnes signes, l'équation [i) n'aura pas de racines comprises entre a et b, ou bien en ■ aura un nombre pair.
En effet, la fonction F(.r) étant continue entre les limites a et b, si F(rt) el F{i) sont l'un positif, l'autre négallf, zéro sera une valeur intermédiaire par laquelle F(x) devra passer; en second lieu, je dis qu'entre a el i il existe forcément un nombre impair de racines. Pour le i démontrer, désignons par et, ^, y, . . ., X les racines comprises entre a et £; plusieurs d'entre elles pouvant être égales, on aura
f {x) désignant le produit des facteurs binâmes de F(x) correspondant aux racines non comprises entre a et .*■. f (n) et flb) sont deux quantités de même signe, sans quoi tf [x) pourrait s'annuler entre les limites a et b, serait par conséquent divisible par un facteur tel que x — m, u étant compris entre a et b, et pourrait se mettre sous forme
et P{x) s'anDulerail pour a: ^ <Ji; x, ^, y, . . . , X ne 96raienl donc pas les seules racines comprise- cnli'o a et l>. Ceci posé, si l'on fait successivement a::=n, j := & dans l'équation (a], le premier membre prend des valeurs de signe contraire ; il doit donc en être de même du second. OrŒi(") elf (A) sont de même signe; donc
sont de signe contraire, ce qui ne peut avoir Itcu que si les facteurs (x — a), (x — fi), ..., (x — X) sont en nombre -«, rt — p el A — p, ... sont de signes contraires, et par suite le nombre des racines «, , , X est impaii'. Si au contraire F(rt) et F(i) étaient de même signe, a, ^, . . . , X devraient être en nombre pair OU nul. C. Q. F. D.
RF.MAnQL'R. — Ce théorème aurait encore lieu si F[x) était une fotiction quelconque continue entre a et b, mais n'ayant entre ces limites que des racines d'un ordre de multiplicité entier, car F(x) serait encore Je la forme (a).
ConoLLAiBË I. — Toute éiiuatlon F(x) ^ o de degré intpair à cue/ficienl.t réels admet au moins une racine rralle et toujours un nombre impair de racines réelles.
Car le premier membre prend les valeurs -h oo cl — w quand on y fait .r = ±ao et j'^ zp oa .
ConoLLAinE II. — Toute équation F(i) ^ o de degré pair à coe/Jicienis réels admet un nombre pair de racine* réelles, ce nombre pouvant du reste se réduire à zéro.
Car son premier membre a le même signe pour
CHAPITIB n. 37
CoïOLLiiDE III, — Tonte pquation F(x)^o de degré pair, dana Itit/uelle le premier terme et te dernier sont de signe contraire, a au moins deux racines réelles.
En effet, F(o) et F{-\ F{o) et F(-c«) aussi.
3 ] sont de signes contraires,
m. — UIEITES D£8 BACIHES.
On appelle limite supérieure (ou limite inférieure) des racines d'une équation un nombre supérieur (ou inférieur) à la plus grande (ou à la plus petite] des racines de cette équation.
Une limite supérieure des racines d'une équation F(x) = o est un nombre qui, substitué à la place de l'inconnue X, fait acquérir au premier membre un signe qu'il ne perd plus pour des valeurs supérieures de x.
Soit, en clTet, ). une limite supérieure des racines positives de F(.r) ^ o et supposons F()) positif; si l'on avait, pour une valeur a de j~ supérieure à /, F(«)<^o, il y aurait une racine de F(jr):^o entre A et «, ce qui est impossible, puisque ^ est plus grand que la plus grande racine de ¥{x) = o.
Une remarque analogue pourrait être faite sur la limite inférieure des racines positi^■es et sur chacune des limites des racines négatives.
Réciproquement, si. pourx>i, F(x} conserve toujours le même signe, À est une limite supérieure des racines; si, au contraire, poura-^X, F{x] conserve toujours le même signe, l est une limite inférieure des racines.
C'est sur ce principe que nous allons nous appuyer dans la rccbcrcljc des limites des racines; nous indiquerons seulement le moven de trouver une limite supérieure des racines positives. En cfl'et, la limite inférieure des racines
38 TnAiTE d'algèbre.
posilives de F(x)= o est égale à la limite supérieure des
racines posilives de I*" ( ~ ) = o, que Ton peut ramener à la
forme /(x)= o,/* désignant un polynôme entier en x, en chassant les dénominateurs; de même, la limite supérieure des racines négatives de F(a:) = o est égale à la limite
inférieure des racines positives de F( j = o. Enfin la
limite inférieure des racines nép^ativos Tient autre chose que la limite supérieure des racines posilives de
Première MÉTHonE. — Considérons Féquation
¥[x)= x'* -h a„..ix"-^ -{- . . .-+-rt',./-'4-. . .4-
En supposant j:> o, en désignant par N la valeur du plus grand coefficient négatif et par a/x' le premier terme négatif, on a
ou bien
F(x)>.r«-iN
c'est-à-dire
et a fortiori
On rendra donc F (a) positif en prenant à la fois
La seconde formule pont s'écrire comme il suit :
