CHAPITRE

et elle sera satisfaite a fortiori si Ton prend

OU

n—ii-^

1 -h V^N est donc une limite supérieure des racines positives, et, si N > I, on voit que N -+- i sera a fortiori une limite supérieure des racines [*).

Seconde méthode, dite de Newton. — Si X est une valeur de x qui rend positif le polynôme F (or) et toutes ses dérivées, X est une limite supérieure des racines positives de F(j:)= o.

(*) Cette méthode permet aussi de trouTer une limite supérieure des modules des racincR. Soient en eflet /9m p Pn^a» •••> Po ^^ modules respectifs de û^,, tifv • • •» **-? **" \te\x\, écrire

et il est clair que, si Ton choisit le module r de x tel que

on aura

mod

cette inégalité subsistera pour des valeurs croissantes de r, et Ton satisfera à la piemière inégalité en prenant

R étant le plus grand des modules p^.,, /s,.,, . . ., p., ou en prenant r> 1

ou enfin en prena t r > K -f- 1 ; R -t- 1 ca donc une limite supérieure des modules des racines de F(jr) = o.

4o THAITÉ D*AL6âBllE.

En effet, en désignant par A une quantité positive, la formule de Taylor donne

F(X-f.//)=F()i) + AF'(X)-f.— F^(X)+...

Si donc F(X), F'(â), ... sont positifs ainsi que h^ F(X + /<) le sera aussi, quelle que soit la quantité posi tive h ; ce qui revient à dire que X est une limite supérieure des racines positives.

On peut généraliser le théorème précédent et lui donner une forme plus utile :

Soit F(j:) = o une équation quelconque dans laquelle F ( j: ) reste fini et continu ainsi que ses n premières dériifées quel que soit x\ si pour une valeur 1 de x on a

et si en outre, pour toute valeur de x supérieure à 1, on a F"(x)>'0, X sera une limite supérieure des racines de ¥{x) =o.

En effet, quel que soit le nombre positif A, on a

B étant compris entre zéro et i , et Ton voit que F(X -}- A) est une somme de termes essentiellement positifs si les hypothèses admises sont satisfaites; donc, pour toute valeur de X supérieure à X, F (a*) est positif et, par suite, ne peut être nul.

Pour appliquer la méthode de Newton, on commence par former les dérivées successives du premier membre de Téquation proposée F(x) = o en les divisant, si cela sim-

l ftliCe, parles facteurs numériques i, - — . -■: ■■•; jiuis

I on change le signe de F(x) s'il y a lîcu, de telle sorte que f F( + ocj ) soit positif.

Soit F"(x) une dérivée de F(x) qui reste positive pour [ a:>fl. [Si F{jr)est un poljnôme entier, l'avant-dernière i dérivée de ce polynôme, qui est du premier degré, restera L évidemment positive pour toute valeur a de x supérieure à f la racine de l'équation obtenue en égalant cette dérivée à I séro.] Si arend positifs F"-'{x}, F"-ï(x), .... F{x), era la limite cherchée; s'il n'en est pas ainsi, soîl t F''~i'{x) la dérivée d'ordre le plus élevé qui cesse d'être [ positive pour,r = «: on substituera dans celte dérivée des I nombres plus grands que a jusqu'à ce que l'on trouve un I nombre £ qui la rende positive. F"~'^'(i), ...,F''(A} seront ■ positifs, puisqu'ils le sont ponr j- = n<^è, en vertu du I théorème que nous venons de démonirer. On substituera I alors b dans les dérivées d'ordre inférieur an — p et dans r F(j). Si l'on obtient des résultats positifs, A sera la limite I cbcrcbée; sinon, on déterminera un nombre c d'une façon inalogue à celle dont on a déterminé b, et ainsi de suite.

Considérons, par exemple, l'équation

Cette dernière dérivée est positive pourx>- -r=; - V^x) ■ est positif pour cette valeur de x; F'(x) est encore positif

i) TB-irrÉ DALCCBftC

ty/'jr c^lUï valeur de x; mais F x est négalif poarx= -=;

t//'it fjo«*Lre jjIu* srand que — ^ rendant F x positif sera

iil^r^ une limite «supérieure des racines de cette équation,

X = \ -ï par exemple.

M. I^:ruerre a fait connaître une méthode beaucoup plu A simple que c^-lle de Newton pour trouver une limite •up';rie»ire de^ racines de Téqualiun algébrique

On a 't. I, p. ^2 •. en divisant /l'x ) par x — a.

formule où Ton a posé

f'Ja}— A«.

/j^a; = A^a' — Am ia-h A„î, ....

Il résulte de cette formule que :

Si If nomhrf* positif a rend positifs f^ (a)^f^{a^^ ..., fm-t ^ ^i), f*f* nombre a sera une limite supérieure des racines positives de f( X)-=, o.

Lîi siipZ-riorilé de cette méthode sur celle de Newton consiste en ce que le calcul des polvnômesy, ,^/'2, ... est iriniiirn''nt plus fîicilc que celui dos dérivées de^^ chacun rj'eiix se déduisant du précédent en le multipliant par a et en lui ajoutant un nombre A.

Mi'.TiionE nu onoupEMENT nEs TERMES. — Souvcut la meilleure manière de trouver une limite supérieure des racines d'une équation consiste à décomposer son premier membre en plusieurs parties qui restent toutes positives;