CHAPITRE II

mais cette méthode, laissant beaucoup ({^arbitraire dans les calculs, demande à être maniée avec habileté. Le théorème général qui suit en facilitera l'application :

Considérons une expression de Informe

dans laifuello il existe une série de termes positifs suiv^ie d'une série de termes négatifs, ces termes étant ordonnés suivant les puissances décroissantes de x\ si¥[x) est positif pour a: = a^o,F(j:) restera positif pour toute valeur supérieure de x.

En effet, on peut écrire

F(x)=x'YA,,r--''4-A;„>K"-*H-...4-A„~^-...--^^

cria quantité entre parenthèses se compose de deux parties, Tone additive croissante, Tautre soustractive décroissante quand x croît à partir d'une valeur positive a quelconque de x; si donc F(a) est positif, F(j:) sera, a fortiori, positif pour des valeurs de x supérieures à a. L'équation considérée tout à l'heure

peut se décomposer en deux groupes, x^ — ix^=x^[x^ — 3)

et Sx^ — yx — S; le premier est positif pour x^ y/'i, le

second aussi : donc ^/3 est une limite supérieure des racines de ré(juallon.

TtlAITK D'aLGËBRS.

- HÉTBODE DIS SOBSTITimOllS SnCCESSmS POUB S£FAS£B LES BACIHE8 D'USE tQOAnOH.

Lorsque l'on vewl si^parer les racines d'une équation F{.r) = o, la première idé*; qui se présente est de substituer à la place de l'încon^iue, dans le premier membre de l'équation, didérenls nombres; lorsque deux nombres su fllsamment rapprochés donneront au premier membre des valeurs de signes contraires, ils comprendront au moins une racine (p. 34). En substituant des nombres intermédiaires, on pourra donc resserrer indéfiniment l'espace comprenant une racine et, ainsi, calculer les racines réelles avec une approximation qui ne peut être limitée que par la patience du calculateur.

Cependant, cette manière de procéder, dite méthode des substitutions successives, présente de graves inconvénients.

11 peut se faire que deux racines soient peu différenles, et alors on sera exposé à faire un nombre 1res considérable de substitutions avant de soupçonner l'existence d'une racine dans un intervalle déterminé. Lagronge, à la vérité, a proposé de former l'équation aux carrés des dilTérences ('), Soit X' une limite inférieure des racines positives de cette équation; si, à partir de la limite inférieure A des racines de l'équation proposée, on substitue des nombres A, A -H )., A -I- aX, . . - , jusqu'à ce que l'un deux, A -|- nX, devienne égal à la limite supérieure des racines de l'équation proposée, on est sûr que l'on aura ainsi séparé toutes les racines, et deux valeurs consécutives A ■+- il et A +(1 -I- i)i, qui donneront des résultats de signes con-

il loi Giirres dus dîlTunuicei

CIAPITftE,.. 45

Ixaires, comprendront une racine de l'équation proposée et une seule. Si les valeurs A -+-ii et A + (i-j- i)l donnaient des résultats de même signe, ces quantités ne comprendraient pas de racine de l'équation proposée; mais la mélliode de Lagrange est encore très difGeile à appliquer, car la formation de l'équation aux carrés des différences est une opération très pénible, qui peut ne pas dispenser d'un nombre très considérable de substitutions. Quoi qu'il en soit, la mélbode des substitutions successives ne doit pas être complèlctnent bannie et, danfl un grand nombre de cas, elle sera encore plus avantageuse que d'autres procédés dont la perfection théorique ne laisse rien à désirer. Nous alluns, dans les paragraphes suivants, f:iire connaître divers théorèmes qui conduisent aux méthodes de sépar^ition le nlus fréquemment en