V. — TSÉOBËIQ DE OESCABTES

Deux termes consécutifs d'une suite n, h, c, . . ., l forment une permanence lorsqu'ils sont de même signe cl une variation lorsqu'ils sont de signes contraires; nous appellerons variations ou permanences d'un polynôme F(x) ou d'une équation F(j:)^o les variations ou les permanences que présente la suite des termes de F{x). Ceci posé, Yoici en quoi consiste le théorème de Descartes.

Thëoheme I. — SiP{j) =^o désigne une équation algébrique dans lai/uelle F(x) représente un polynôme ordonné par rapport aux puissances de x, le nombre des racines positives de F(x) ^= o ne pourra Jamais surpasser le nombre des variations de la même équation, et la différence entre ces deux nombres, si elle n'est pas nulle, est toujours paire.

Pour dtSmonirer celle proposition, considérons nn poîj- DÔme ordunnÉ par rapport aux puissances décroissantes dex

Le signe de chaque terme ayant été rais en évidence, nous supposerons que de Ajt" à — Bx" exclusivement it n'j ait que des termes positifs, de — Mx" à + Cj:^ excluiîvetnent il n'y ail que des termes négalils, etc., le signe du dernier terme Sx" pouvant être quelconque.

Multiplions ce polynûme par j- — n, a désignant une quantité positive ; le résultat de cette multiplication pourra s'écrire comme il suit, en plaçant l'un au-dessous de l'autre les coefficients des mêmes puissances de x provenant des produits partiels du potynûnie par x el par — a :

Ax"-» -4- ...-CI JT-'+'H- ...-+• C ] .r'-^' -f- ... ± S I X"-'

Dans la première ligne, les coefficients des ditTérenls termes sont identiques aux coefficients de même rang dans le polynôme (i); dans la seconde ligne, les termes, à partir du premier jusqu'au terme en x""*"' exclusivement, ont le signe — ; ces termes pourront se réduire avec certains termes de la première ligne, mais, en tout cas, le terme A j.""*' de la première ligne ne se réduira avec aucun autre. Quant au terme en x"+', il a encore le signe — , puisqu'il

provient du produit par — a du ten

n jr""*"' dans le po-

lynôme (i), terme positif par liypoihèse; en se réduisant avec le terme immédiatement supérieur dans la première ligne, il fournira un terme négatif en x""*"' au produit total. Le même raisonnement prouve qu'au produit total le terme en j:*^' a le signe -f-, el ainsi de suite, en sorte que les termes en a:"*', x""^', xP^', ... du produit chercbé ont les mômes signes que les termes en x", x", xP, . . .

CIUNTItE tl. 47

timaltiplicande (i); donc, jusqu'au terme en :r'^', »■ désint l'exposant du Icrme à partir duquel le multiplicande W-ne présente plus que des permanences, te produit présente sau moins autant de variations que le niuliiplicande. J'ayoute que, si ce nombre n'est pas le nt^meau multiplicande Lt produit, la diflérence est nécessairement un nombre Ipair; en eiTei:

Si l'on considère deux termes présentant des signes con- Ktraires, pour passer de l'un à l'autre il a fallu changer de viigne un nombre impair de fois; cliaque changement de pUgne représentant une variation, ils comprennent un nombre impair de variations. Si l'on considère alors les ^termes en jr"'*"' et en x"*' du produit, on voit qu'ib "comprennent un nombre impair de variations; les termes en J-™ et en x" au multiplicande en comprenant une, la différence est un nombre pair. Ce qui vient d'être dit de l'intervalle compris entre les termes en x" et x" pourrait

1K répéter pour les autres intervalles qui correspondent à une variation du multiplicande; en sorte que, depuis le terme en x™"*"' jusqu'au terme en .v^' inclusivement, le produit possède un nombre pair de variations de plus que le multiplicande.

Mais le dernier terme :^ S flx" du produit est évidemment de signe contraire au terme en x'^' ; il y a donc là un nombre Impair de variations qui n'ont pas leurs corres-

» pondantes au multiplicande; donc le produit présente au nolns une variation de plus que le multiplicande, et en tout ras un nombre impair de variations de plus que le multiplicande.

En résumé, si l'on mulfif/lie par x — a un polynôme à I coefficients léeU, le produit préfente un nombre impair I tfe variations de plus que le multiplicande.

Ceci posé, considérons une équation algébrique à coef-

(al r(.) = o.

Appelons X le quotient de F (or) par le produit de ses facteurs linéaires correspondant aux raciues positives de l'équation (a); six n'est pas une quantité indépendante de X, ce sera un polynùaie qui pour a; = o elx = oo conservera le même sij^ne, et dont le premier et le dernier terme seront par conséquent de mêmes signes : il présentera donc un nombre pair de variations. Si nous multiplions alors X successivement par chacun des facteurs linéaires de F(x) correspondant à ses racines positives, on introduira à chaque opération un nombre impair de varialions et l'on reproduira Jinalemenl le poljnûme F(j"). Soit alors/» le nombre des racines positives de F(x), le nombre de variations de F(.r] sera ua nombre pair augmenté de /' nombres impairs, c'est-à-dire un nombre pair plus/) (*J. c. y. F. D.

Cor.oi.LAïuEl. — Considérons une équation àcoefTicients réeIsF(-i.) = o et sa transformée en — x, F( — aj = o, le nombre des racines négatives de F(,r) =: o ne pourra pas surpasser le nombre des variations de la transformée

CoROLLAine II. — Si une èifuation algébriz/ue a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal

jéga-

nbre des variations, et le nombre des

tives est egi

;ala

lombre des variations de la transformée

En eB'et, soient m le degré de l'équation, v le nombre des variations, i^le nombre des variations delà transformée en — X, p le nombre des racines positives, n celui des racinfi négatives. Soient Ox^ et H.i* deux termes consécn-

CUAPITRE II. 49

tifs quelconques de réqualion. Si v est égal kfi — i, il est évident que, si ces termes présentent une variation , les termes correspondants de la transformée en — j: n'en présenteront pas, et vice versa. Il résulte de là que, relativement aux deux termes Gx^, Hx", la somme des variations de Téquation proposée et de sa transformée en — x est au plus égale à i si u — v est égal à i , et au plus égale à a dans les autres cas. Donc cette somme est toujours égale ou inférieure à fjL — V. On a donc

c'est-à-dire

Mais on a

ou

Mais, puisque l'équalion a toutes ses racines réelles,

on a donc

En comparant cette formule avec (3), on en conclut

ou bien

Les formules (4) donnent alors

!.. - Ali;cbrcy III. 4

5o TRAITÉ d'ALGÂBRR.

Corollaire III. — Toutes les Jois quil manque un terme entre deux de mêmes signes, ou deux termes entre deux de signes contraires, cette circonstance introduit un couple de racines imaginaires au moins.

En effet, si Ton considère deux termes consécutifs Oxf'f Hx% la somme des variations de la proposée et de la transformée en — X relativement à ces deux termes est

0 s'il manque un terme entre G. r** et 11 x* de mêmes signes.

1 » deux termes • de signes contraires. I » deux termes » de mêmes signes.

Dans ces trois cas, et a fortiori s'il manquait plus de deux termes, la somme des variations de la proposée et de la transformée en — x relatives à ces deux termes serait au plus égale à |jl — v — 2. On peut donc écrire

(i) v-\-v'^ni — a5,

s désignant le nombre de fois que la circonstance en question dans l'énoncé se présente. On a en outre, en appelant i le nombre de couples de racines imaginaires,

de (i) et (3) on tire

n -¥ p 2 f>^ — '-* ^ î ajoutant avec IVqualion (2), on a

oli — 2S ou i^is, ce qu'il fallait prouver.

CtlÀVITltE II.