VI. — DÉMOKSTB&TIOir D'US UamE WPOBTAKT

TbéobêmbI. — Soit f [a:) une fonction continue ainsi tjue

1 dérivée pour x^a; si l'on a/{o) = o,/(x) etj'[x)

seront de mêmes signes pour des valeurs de x un peu

supérieures à x, et de signes contraires paiu- des valeurs

de X un peu inférieures à a.

Soit m l'ordre de multiplicité de la racine a, on aura f (.r) n'étant ai nul, ni infini pour x^a,oa en conclut

d'où

/(^)^;,. s ff^)

, si X est suffisamment voisin de a, le multiplicateur Mc a: — a sera très voisin de — et yr — aura le signe de

X — a. Il passera donc comme x — «du négatif au positif

qriBnd X croîtra en passant par a, ce qui démontre notre

théorème. Cette démonstration suppose que <9' {x) n'est

s infini ; en voici une autre qui n'est pas sujette au même

iconvénient. On a, par la formule de Ta^lor,

/(,)=/(.H-(;r-,l/'[«+>(.r-.|l, pétant compris entre o et t. Si l'on fait/(n)=: o, on a /(.) = [..-<. )/'[« + 0[--«)];

f[a-\-B{x — a)]esldcmémesigneque/'(x} sixestsuf- 'lammenl voisin de a : le théorème se trouve donc ainsi lBU pour le cas où/''(x)^o.

52 TRAITÉ D'aLGÂBRE.

On peut encore démontrer le théorème suivanti

Th^.obemb II. — Soit y (x) une Jonction qui s'annule pour x = a, mais en restant continue ainsi que ses dérivées; soit f"f^x) la première de ces dérivées différente de zéro pour X = a; si l'on désigne par c une quantité positive sujjisamment petite, f [a ± e) aura le signe de [± 1)"^" (à).

En effet, la formule de ïaylor donne OTyf{a),J'{a), . . ., /"■"*(«) étant nuls, on a

f{adz^) = —^(±i)-f'{a±Os);

or, f"[a±Qe) est de môme signe quey^(a), si « est assez pclii; le théorème est donc démontré.

Vn. — THËOBÉHE DE BOLLE.

On donne aujourd'hui le nom de théorème de Rolle à des théorèmes qui sont des généralisations plus ou moins étendues d'un théorème énoncé par Ilollc, et dont il a fait usa^c dans une méthode qu'il avait inventée pour la résolution des équations et à laquelle il a donné le nom de méthode des cascades (*).

(*) Rolle donne le nom de cascades à une équation algébrique /(*) =0, dniiî, laquelle /'(x) csl \\n pohnôive entier^ et aux équations /'(jr) = o, J"(j:) = Of ...; il apiellc hypothèses d'une cascade /'(or j = o, les racines de l'équation /'+' (a:) = G et une limite supérieure des racines de /^{jl) = 0. Eufia il ai>pi*lle racines effectives d'une éf/uation ses racines po-

GUAPITBB II. 63

Voîcî maintenanl l'énoncé du théorème de RoUe textuellement copié dans son Algèbre ( 1690) :

<c Lorsqu'il j a des racines effectives dans une cascade, les hypothèses de cette cascade donnent alternativement l'une -H et l'autre — . »

Nous ferons d'abord quelques remarques; nous rappellerons que (t. II, p. i6j) :

*Si f{x) s'annule pour x = aetx = beta une dérivée bien déterminée pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b,/'[x) s'annulera pour une valeur c de x comprise entre a et b.

En particulier:

SiJ{x) est un polynôme entier, deux racines réelles de Inéquation /(x) — o comprendront au moins une racine de Inéquation f'{x) = o.

Mais on peut aller plus loin :

f{x) désignant toujours un polynôme entier , deux racines consécutives a et b dej\x)= o comprennent toujours un nombre impair de racines dej^[x) = o.

En cfTet, soit e une quantité positive assez petite pour que m f[x) u\f\x) no chanjje de signe quand .r varie entre a et a -f- c ou entre b — e et i ; d'après le leninic démontré

, , , fa-^i /"/; — s) ,

au parairraphe prccécicnt, '-,.' et ■.— -serontde

signes contraires; mais, a et b étant racines consécutives deJ'{j'),J(a -f- «) ot /'{b — c) sont de mêmes signes; donc y*'(rt-H£) ci f\b — i) sont de signes contraires; donc entre « -h e et b — e, ou entre a et &, il y a un nombre impair de racines dey^(x) = o.

Sj TRAITE D'ALGRDRB.

Ce théorème s'appliquerait encore à une Jonction traitscendante continue entre a et b f{x), si, entre a et b, ft^x)=:o n'avait quedes racines d'un ordre de multiplicité entier. En ei'fei, rien n'a supposé y(j:) entier dans notre raisonnement; on a seulement admis que,/' (« + s| el J''[li — e) étant de signes contraires, a + ! et li — t comprenaient un nombre impair de racines dej''[j:)^ o. Ce qui n'est pas vrai pour toutes les formes dcj[x).

Il résulte de ta remorque précédente que :

Entre deux racines def[x)=o consécutives, il ne peut exister plus d une racine de f\x ) =^ o ; sans quoi) entre deux racines dey*(x) = o, il n'y aurait pas toujours une racine de/'(a:) = o.

De toutes ces remarques résulte le théorème de Rolle, que nous traduisons en langage moderne ;

TflÉoiiLME DE RoLLE. — Soit f[x ) un polynôme entier; soient a, 6, c, ..., l les racines réelles de f (x)= orangées par ordre de grandeur croissante. Formons la suite

Elle présentera autant de variations que l'équation f{^x)^0 aura de racines réelles, et les quantités — oo ,

a, b, ,.., l-\-ca serviront à séparer les racines de f{x) = o, c'est-à-dire que Jiy( a ) etj\ b ) sont, par exemple,

de mêmes signes, il n'j aura pas de racines de J\x)

entre a et b, tandis qu'il n'y en aura qu'une si f[a) et f[b) sont de signes contraires.

En efTel, soient pelq deux termes consécutifs de la suite — oo , n, ô, . . . , / -t- 00 ; entre ;; et ^ il ne peut y avoir au plus qu'une racine àef[x) ^ o; il y en aura une si J{p) tl f{q) présentent une variation, il n'y en aura pas s'ils présentent une permanence.

ConoLLiinE. — Pour qu'une éqoalion/'(j-) = o, /(:r) désignaat un polynôme entier, ait toutes ses racines réelles, il faut et il sulfil que, a, b, , / désignant les racines de

( jr) ^ o, i" toutes ces racines soientréeltes; a" qu'étant tngées par ordre de grandeur, la suite

Be présente que des variations.

Nous appliquerons ces considérations à la recberchc de b condition de réalité des racines de l'équation

li l'équstion{i) a toutes ses racines réelles, l'équalion (a) ara ses racines réelles aussi. Il faut donc que /> soit légatifpourqueréquation(i) ait toutes ses racines réelles; gais il faut en outre", et il suflil, que les racines de équation (a), substituées â la place de :t'dans l'équation (i), Durnissent, la première un résultat positif, la seconde un iaullal négatif.

Les racines de (a) sont li: i/— |; en substituant ces valeurs dans te premier membre de l'équation (i), on a

en prenant le sif;ne — . on devra donc avoir

OU bien

56 TRAITÉ D*ALGàBRB.

ce qui a lieu si gr > o et ce qui donne, si y < o,

en prenant le signe + devant le radical, on aura au contraire

ce qui a lieu si q <Co et ce qui fournit le même résultat que tout à l'heure si ^r >► o ; ainsi — + y < o est la condition de réalité des racines. Si Ton veut savoir dans quel cas les racines sont égales, il suffit d'exprimer que les équations (1) et (2) ont une racine commune : le résultat auquel on arrive ainsi est l'une des formules (3) ou (4)i dans laquelle on remplacerait le signe >> ou < par =. On est donc conduit à l'équation de condition

Pour que l'équation (1) ait ses trois racines égales, en d'autres termes, pour que a:^ -hpx H- {/ soit un cube parfait, il faut que l'équation (2) ait deux racines égales, ce qui ne peut avoir lieu que si /; = o; mais alors l'équation (1) se réduit à

Pour que cette équation ait ses racines égales, il faut que f/ = o. Du reste, x = o satisfaisant à l'équation dérivée, x' = o devait satisfaire à l'équation (i), ce qui exigeait que l'on eût p = y = o.