TOI. — THÉORÈME SE BUDAH ET FOURIER

Théokème. — Soit F(x) =0 une équation algébrique; si l'on considère la suite

formée de la Jonction F(x) et de ses déris^ées, et les deux suivantes :

(2) F(«), P(a), F"(«), ..., F-la),

dans lesquelles a représente un nombre inférieur à P; si, de plus, on désigne par v le nombre des variations de la suite (2) et par v' le nombre des variations de la suite (3), 1° On aura toujours

2° Si l'on désigne par N le nombre des racines de F(x) = o comprises entre a e^ j3, on aura

3° Enfin, In dijjérence [y — i*') — N svra toujours un nombre pair.

Pour démontrer ce théorème, observons d'abord que le nombre des variations de la suite (i) ne peul changer que si Tun des termes passe par zéro ; le dernier terme étant

(*) ('e théoiôino, trouvé à pou près en même temps par Fourier et par Iluduii, a i>u un grand succôs, mais il a beaucoup perdu de son importance après la dccouvt>rtc du thi'on'me de Shirm que l'on va lire ci-après; quoi qu'il en soit, le théorème de Budan, moins parfait en théorie que celui de Sturm. est d'une application assez t'ucilo, taudis que celui de Sturm rebutera souTont le calculateur lu plus intrépide.

58 TntiTÙ n'ALGËone.

indi^pcndant de x, nous n'aurons que deux cas à e

i" Le premier terme de la suile (i) passe par zéro pour X = X; soîl F''{x) la première dérivée de F{x) qui ne s'annule pas pour x^i; F[J-f-ï), F'{X-|-ï), ... seront demémesignequeF>{X);quanlàF{X — e},F(> — e), ..., ils seront alternalivement de môme sigue el de sign« contraire à F^(X), en sorte que le passage par/, l'era perdre à la suite (i) ju varialious. Or, nous avons vu (p- i3) que, si F^(x) était la première dérivée de F(x) qui ne s'annulait pas pourx=: X, F(x) = o avait ^ racines égales à X ; on peut donc dire que, toutes les fois que x passe par une racine de F(x) ^ o, la suite (i) perd une variation, une racine multiple d'ordre fx étant considérée comme jouant le même rôle que /n racines simples.

a" Si l'uD des termes F'{x) de In suite (i) passe pai zéro pour x ^1, F(X] étant censé dilTérenl de zéro, nous supposerons F'~'(),) dilTérenl de zéro. Soit alors F/(x) la première dérivée de F'{x) qui ne s'annule pas pour .r;=X; F'{X+ï), F^* (l + e), ... seront de môme signe que F*(X), et F'(X — b), F'-»-' (X — e), ... seront alternativement de même signe et de signe contraire à F.'{X}. Le passage par X a donc fait perdre à la suile (■) un certain nombre de variations, el, comme F'~*{x) el F'ix) n'ont pas changé de signe, le nombre des variations comprises eulre ces termes n'a pas changé de p.irilé.

En résumé, x variant de a à j5, la suite (i) a perdu un nombre pair de variations (ou zéro variations] par ses termes intermédiaires, et un nombre de varialions N égal à celui des racines comprises entre a el (i par son premier terme; on a donc

IZ. — IHËOBËKB DE STIIBM.

Aucun des théorèmes précédents ne peut servir à séparer à coup sur les racines d'une équation, mais Ils suftisent dans la plupart des cas. Au contraire, le théorirne que l'on va démontrer permet de décider combien il exisie de racines réelles d'une équation algébrique comprises entre deux limites données : il est à regretter que ce ihéorème soit d'une application aussi pénible.

TnËonÈME I. — Soient Vo un poljnôme entier en jc, V, sa dérivée; divisons Vn par V( ; soient Q, le quotient et — V, le reste; divisons V, par Vj ; soient Qi le quotient et — V( le reste, et ainsi de suite. Supposons que l'équalio«Vo=:o n'ait pas de racines égales (et Con peut toujours faire en sorte qu'il en soit ainsi), on finira par tomber sur un reste numérique dijj'érent de zéro que nous désignerons par — \ „ \ ceci posé, le nombre des racines réelles de V'o = o comprises entre deux limites données a et^ est égal au nombre de variations que perd ta suite

quand x varie de aù^.

D'après la définiiion des quantités V,,, V,, ,,., V„, Q,, Qj on doit avoir

I|r, 1° deux fonctions Vf t, Vf consécutives de la suite (i)

Go TRAITE d'aLGLIIRK.

ne peuvent s*annuler à la fois, sans quoi de

on d(îdiiirait V/^i = G et par suile V/^2 = o, etc., enfin V„ = (), ce qui est contre notre hypothèse, V« étant supposé indépendant de x; 2" si Tune des quantités Vo, Vj, V2, . . . s^annule, celle qui la précède et celle qui la suit immédiatement sont de signes contraires; si, en effet, dans Téquation (2) on fait V/:= o, on a V,..i = — V/^|. 11 résulte de là que le passage par zéro d'une des fonctions Vi, Vo, . . ., V„i n*allèrc pas le nomhre des variations de la suite (1). En effet, V,i et V,.j.i ne pouvant s'annuler avec V/ conservent leur signe quand V/ change de signe; or, V,i et V/+i étant de signes contraires, on ne peut avoir avant et après le passade de V/ par zéro que les combinaisons de signes suivantes :

Pour V^i I -i-. -h ! H- -+- ] ' t

Pour V, - — : -,- -h

Pour V,.^, , ; -h

qui prrscnlent constnmment une seule variation^ mais (juaiid Vo passe par zéro, d'après ce que nous avons vu (p. Oi), il est d'abord de signe contraire à V|, puis, après le passage, de même signe que V| ^ la suile (i) perd donc une variation, et à chaque racine de Vq = o correspond ainsi une variation perdue; donc enfin le nombre tolal de variations penbies par la suite (i), quand a: vari(i de a à ,:, est i)icn égal au nombre des racines de Vo = o conq)rises dans cet intervalle.

On peut considérablement généraliser le théorème de Slurm, ainsi que Slnrm lui-même Ta fait, et lui donner une forme qui le rend infiniment plus utile dans les applica-