CHAPITRE II. Gl

lions ; car, il faut l'avouer, si le théorème de Sturm, tel que nous venons de Ténoncer, permet, théoriquement, de séparer les racines d'une équation comprises entre des limites données, il est d'une application presque impossible, à cause de la longueur des calculs qu'il exige. Voici le nouvel énoncé dont nous voulons parler :

Théorème IL — Si l'on a une série de fonctions de j:, continues entre les limites a et p, de la variable ( a <^ (3 ), à savoir

satisfaisant aux conditions suiv^antes :

1^ Deux fonctions consécutiv^es Vmf V^+i ne s'annulent jamais pour la même valeur de x ;

2° Quand l'une des fonctions Y m s'annule, celle qui la précède et celle qui la suit sont de signes contraires;

Z^ La dernière [ou la première) ne change jamais de signe quand x varie rfe a à j3,

Le nombre des racines réelles de Vo = o (ou de V,i = o) comprises entre a et j3 est és^af ou inférieur à la différence qui existe entre le nombre de variations que présente la suite (i) pour x z= cl et x = ^.

En efTct, la suite (i) ne peut gagner ou perdre des variations que par son premier (ou par son dernier terme), et à chaque variation gagnre ou perdue correspond une racine de Vo= o (ou V«= o).

Théoiikme III. — Aï, toutes les conditions du théorème précédent étant remplies pour la suite (i), quand la /onction Vo {ou \„) s'annule, la Jonction V| [ou V/,| ) est de signe contraire à Vo [ou à V/,) avant le passage de cette Jonction par zéro et de monte signe après, la suite (i) perdra nécessairement autant de vainations

Ca TNMTK d'algëhbe.

quand on y fera successivement X = X, X = ^, ifueVn =o

(ou V,,^ o) (1 de racines réelles comprises entre aet ^.

Si V„ {ou V„) était de même signe que V, {ou V,,) avant le passage par zéro et de signe contraire après, la suite (i) gagnerait nécessairement autant de variations que Vo = o [ou Vn = o) a de racines réelles entre a et p.

En effet, les variations ne pouvant se perdre ou se gagner que par le premier (ou par le dernier termej, cbaque fois que je passera par une racine de Vi,= o (ou de V,= o),il se perdra une variation si V, (ouV„,) est d'abord de signe contraire à Vo {ou V„); il se gagnera une variation si V, (ou V„|) est d'abord demêmesî|^ne que Vo (ou V„).

Pour faire comprendre l'utilité de ces théorèmes, nous sllons en faire quelques applications.

Pkemiére APPLicATiOM. — Le théorème J est encore vrai quand l'équation Vo = o « des racines multiples.

V„ dans ce cas est le plus grand commun diviseur de Vo et V,. Divisons tous les termes de la suite

Vo. V,, ..., V„ par V„ et soient

Uo, u„ ...,u,

les quotients; de l'égalité

on conclut

U^, = U,Oi— D,v^,.

Donc : i" U,i et U,- ne peuvent s'annuler en même temps, sans quoi U,^.,, U,.,.;, ... et Um= i seraient nuls, ce qui est absurde; a** quand U,= o, U,+, et U,( sont de signes contraires ; 3° Um ^ i ne change pas de signe ;

in U, Va Uo Vo, , ..

4° comme "^^ " rr = y" ' ïT passe comme y- du nëgalifaa positif quand Uo ou Va s'aoDuIe; donc enfin le nombre des racines réelles de Un ^ o ou de Vu ^ o, abstraction faite de leur degré de multiplicité, comprises entre x et ^ est égui au nombre des variations perdues par la suite Uo, U, , . - . , U, ou, ce qui revient au même, par la suite Vo, V,, . . . , V«, quand on fait successivement^ = k,x^ ^. c. q.f. n.

Deuxième application. — Considérons la fraction con-

iLppelons Qit Qsi Qii ■ • ■ les dénominateurs des réduites iccessîves, et supposons a,, /?;, ng, . . . positifs; nous sQ,=x, Q, = ^= — flj,Qj = j:*— ^{ai-t-nj), ... , en général,

Ri) Qn^.^Qn-^ — InQn-i-

Ion suppose « ^ i dans cette formule, elle servira à

téfinir le terme Qo = Mdérons la suite

indépendant de x. Ceci p

Qo. Qi. Q,.

•Deux fonctions consécutives ne peuvent pas s'annuler 'en même temps, car en vertu de l'équation (a), si Q„ = o et Q„+, = o,on auraQ„, = o, ... et Qo=o, ce qui est absurde, a" Toujours en vertu de(a), siQ„=:o, Qa+i etQs i sont de signes contraires. S'Q» a un signe constant. Pour x^ — 30 , la suite n'a que des variations; pour j^ 4- ao , elle n'a que des permanences; donc Qn)=o a au moins

64 TRAITÉ D*ALGÈB&B.

m racines réelles; or Q^ est de degré m; donc Q« = o a toutes ses racines réelles. Résultat d'autant plus curieux que Ton n'a même pas l'expression générale de Q^».

Un dernier mot sur le théorème de Sturm.

Le ihéorùme de Sturm donne les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équationy*(j:)= o ait toutes ses racines réelles (ou c(>ni|)rises entre a et jS). Pour trouver ces conditions, il suiTit de substituer à la place de x, dans la suite des fonctions de Sturm, — oo et -H oo (ou a et |3) et d'exprimer que, pour la première valeur de a:, la suite ne présente que des variations, et que pour la seconde valeur de X elle ne présente que des permanences.

Par exemple, considérons l'équation

Les fonctions de Sturm sont

x5-H/Ar -I- ^, 3x*-hy^, — (2/?ar -h 3<7), — (27(7*-f- 4/'*)-

Si l'on fait x = — oo eta: = -f-oo,on trouve

— :o -+- X p, ce — (27 7*-f- 4/'^'),

4- GO -h oo — />. co — (^'7 ^'-^-4/'')• Si^on ap <^oci — (4/''-+- îi7y')>oou 4p^-+- îi7 7*<Co, la première suite n'aura que des variations et la seconde n'aura que des permanences, et, comme 4/^^+ ^7'y*<Co entraîne la condition /><^o, il en résulte que 4/^^ H- ^^y q^<Cio est la condition de réalité des racines de l'équation x^-i- px-i-q= o.