L. — .4/ffèhre, III

Passons à la dcmonstration du ihéorème. Soit

Ou a (t. II, p. 68)

argF(3) = arg(5-- a) -f-argfs ~ b)-\- , . .-\- arg(a — /).

Si le point :: décrit le contour C, les arguments des binômes [z — a) pour lesquels a est intérieur à C croîtront de 9.7:, les arguments des autres binômes reprendront leurs valeurs primitives. Donc l'argument de F[z) aura précisément varié d'autant de fois 9.n que l'équation P{z] — o possède de racines à l'intérieur du contour.

Nous supposons, bien entendu, qu'il n'existe pas de racine de F[z) sur le contour même, ce dont on s'apercevrait d'ailleurs en faisant varier z sur ce contour.

Le nombre 1 N est égal à la différence entre le nombre

de fois que le rapport devenant infini passe du positif

au négatif et le nombre de fois oîi il passe du négatif au positif, les fonctions o et ^ étant données par la formule

Eu effet, si Ton suppose que sur le contour C il n'y ait pas de racine de F { ;? ) = o, cf et (p ne seront jamais nuls à la

fois; alors -? qui est la tangente de l'argument de F(«),

|)eut devenir infinie sur le contour C, mais ne prend jamais de valeur indéterminée. L'argument de F(c) est donc lui-même toujours bien déterminé. Soit w l'arc

compris entre - - et -i '■ qui ji pour tangente -7, l'argu-

ment de F (5) sera w - - Ât:, /,• désignant un entier. Faisons

cheminer le point :; sur le contour C. Tant que - reste fini,