CHAPITRE II

l'argument de F(^) reste compris entre les mêmes multiples de - ; mais, si çfz) s'annule, - devient infîni et Tar-

gument àcF[z) passe par un multiple de -• Alors :

1" Si - ne change pas de signe, l'argument de F(z) ne

franchit pas le multiple de - qu*il a atteint.

2^* Si - passe du positif au négatif, Targument de F(z)

qui a pour tangente - franchit un multiple de - en croissant, et sa valeur devient de la forme w -i- (A' -4- 1)71.

3° Si - passe du négatif au positif, l'argument deF{z) ?

franchit un multiple de - en décroissant, et sa valeur prend

la forme w -:- (k — 1)7:.

Alors, si n désigne le nombre de fois que - devenant infini

passe du positif au négatif, n^ le nombre de fois qu'il passe du négatif au positif, la valeur de l'argument de F(2), quand z aura parcouru tout le contour G, sera de la forme 0) -f- A" 71 -i- ( « — '^')7^> et (M> aura repris sa valeur initiale: donc ( /i — //) TT est la variation 2 tt N de l'argument de F (2 / .

EXERCICES ET NOTES

Exercices sur la recherche des limites des racines d'une équation.

i. Si l'on considère l'équation /(jt) = o, dans laquelle le coefRciout de la plus haute puissance m de x est i, si Ton appelle

G8 TRAITÉ d'algèbre.

les lermcs négatifs et si N/ et Ny sont les deux plus grandes des

quantilôs Ni, Nj, ..., y^N/ h- v'^V sera une limite supérieure des racines positives de/(x) = o. (Lagrange.)

2. Divisons chaque coeflicient négatif de réquation/( j:) = o par la somme dos coefficients positifs qui le précèdent : la plus grande des quantités ainsi formées augmentée de i donne une limito supérieure des racines de {\x) = o. ( Bret. )

3. Cauchy appelle im/ice d'une fonction, pour uno valeur a de la variable qui la rend infmie, + i, o, — i suivant que la fonction passe en devenant infinie du positif au négatif, ne change pas de signe,* ou passe du négatif au positif. Cette notion de Tindice lui a été très utile pour démontrer d'une manière uniforme tous les théorèmes exposés dans ce Chapitre. Ure le Mémoire de l'illustre autour intitulé : Sur la théorie des indices des fonctions (XIX" Cahier du Journal de l* École Polytechnique).

i. Dans l'équation

qui ne renferme que les puissances impaires de x, il y a toujours une racine réelle comprise entre

(TcUEnYCIIEFF.)

Exercices sur le théorème do Descart^s.

î). Si, en multipliant le premier membre d'une équation algébrique par x — a^on introduit aX- -f- 1 variations, elle a au moins ik racines imaginaires.

0. Si, dans une équation ordonnée, il y a un coeflicient nul entre deux coofTicients de même signe, celte équation a au moins un couple de racines imaginaires, et au moins autant de couples de racines imaginaires que cette circonstance se présente de fois.

Si, dans une équation ordonnée, il existe deux coefficients consécutifs nuls entre deux autres différents de zéro, cette équation a au moins un couple de racines imaginaires.