Soit

f(x) = Ao-»- Aix-r- Aï j:» -+-... -f-A,rtJ:'«, /i(.r^ ^ A;„, J^(j:)=- A,„.r-+- A;„i, /s(-f) =^ A;„x«-f- A,„. iX-^ A„,-î. ...

Le nombre des variations de la suite

.A(«),./i(^), '",Jm(»),f{n)

est au moins égal au nombre des racines de f(x) = o supérieures à /i, et, s'il est plus grand, la diflcrence est paire ( on suppose Ao| o et a > o ).

TRAITK d'algèbre.

Ce théorème est dû ù Laguerre. M. Lucas propose de le démontrer en prouvant que, si Ton multiplie l'identité

fS''). .-. x'n-if.ln) -i- X- \f,(a -H. . .-h/;;, (./)-+- :;^'-^.

par X — b ou b^ ayOn introduit au moins une variation danâ le second membre de cette formule.

Exercices sur le tliéorème do Kollo.

H. On démontrera la formule

dans laquelle les exposants entre parenthèses représentent des dérivées relatives à x. Ainsi

12. On prouvera, en s'appuyant sur le théorème précédent, que réquation

a toutes ses racines réelles.

i3. L'équation

tn(m — \)\tn~-i)

a toutes ses racines réelles.

i4. Si l'équation /(.r) -4- ^/'(j:)-t-r/«/''(«r)-H...-+-^/«y«(x)=: o ou <p(j:) = o

a toutes ses racines réelles, l'équation /(x) = o aura aussi toutes ses

racines réelles (on s'en assure en multipliant <p par 6'"« et en prenant la dérivée)