I -4- L\ H- L*i -+-•.• -H Ufi = U/i

l'équation U/, - o aura toutes ses racines réelles.

36. Soient V© un polynôme en .r, V| la dérivée prise par rapport à y de ce polynôme rendu homogène en multipliant ses termes par des puissances convenables de y\ soit Va le reste de la division changé de signe de Vq par Vi, . . .; soient a et p deux nombres positifs : le nombre do racines réelles de Vo = o comprises entre a et p sera égal au nombre de variations gagnées par la suite Vo, Vi, . . ., V» quand on fera successivement .r — a, x — p.

37. Soient V^ un polynôme quelconque, Vn i sa dérivée, où un autre

polynôme tel que rr-— passe toujours du positif au négatif, ou toujours

du négatif au positif en s'annulant. Si V/,= o n'a pas de racines communes avec V^-i, on pourra toujours déterminer deux polynômes Vrt 2 et V',4 2 de degrés inférieurs à V«-i et à V», tels que Tenait

puis deux polynômes Vn -3 et V)»», de degrés inférieurs à V»-! et Vrt-t, tels que

Vn-i\/i 3 — V/i-îV«3— — I,

et ainsi de suite. Les polynômes V», V« 1 Vi, Vo jouissent des

propriétés des polynômes do Sturni.

38. Pour qu'une équation ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffit que l'équation aux carrés des différences soit complète et ne présente que des variations.