I. — rOBMULE D'APPBOXmATIOH DE HEWTOH ET DE FOUBIEB

Concevons que, ayant convenablement séparé les racines d'une équation algébrique

on ait substitué à la place de x deux nombres a çxhj> a peu différents Pun de l'autre, donnant à F(j:) des valeurs de signes contraires et comprenant par conséquent une racine, mais une seule. On arrivera toujours à ce résultat après un nombre plus ou moins considérable d'essais. Soit «4- A la racine cherchée, on aura par la formule de Taylor

F(a-4-/r;,, c'est-à-dire o ™F(^)4-/iF'(a; -+- ^- F''(a-i-0A).

On tire de cette formule

En partant au contraire de la valeur approchée i, en désignant par A — h la racine exacte et par X un nombre compris, comme 0, entre o et i, on trouve de la même façon

CHAPITAE III. 77

et par suite

Si les quantités k et // sont sufCsamment petites, on peut négliger leurs carrés et prendre

Telle est la méthode indiquée par Newton pour l'approximation des racines des équations; elle est peu sûre, comme on voit, et, pour qu'elle puisse être appliquée avec succès, en un mot, pour approcher de la racine à l'aide des termes

de correction - - - /,— ■ et 7,, ■:- il faut être sur qu ils sont

positifs; il faut ensuite, en vertu des formules (3) et (4)y

que les quantités — - --Yj^y-^ et - ^^.^^^ ' soient

positives, car alors seulement on sera sûr que a — / ■

eto-- v.,\-/\ sont plus approchés que a et o.

Mous supposerons les limites a et b assez resserrées pour que, dans rinlervalle, F'(j:) et F"[x) n'aient pas de racines, ce qui sera toujours possible si les équations F(x) = o, F'(a:) = o et F"(j:) = o n'ont pas les mêmes racines (on voit ici l'utilité de la théorie des racines égales).

Alors : 1° le dis que — «,^-. ^^ Trrrrr sont positits; en

efl'et, si V{(i) est négatif, par exemple, F(x) devenant positif pour x = b croît dans l'intervalle a, i, et P(x)

est positif; donc — y/ - ^ ^^^ positif, et il en est de même

de ï;vW^- sî, au contraire, F(a} était positif, F(x) serait

décroissant, F'(x) négatif, et Ton arriverait toujours aux mêmes conclusions.

2® Puisque F"(a7) et F'(x) n'ont pas de racines dans rintervalle a, i, ¥"{a-\-Bh) et ¥"{b — ÂÂ) auront les mêmes signes, P(a) et F'(i) aussi, et alors Tune des quantités

sera positive.

Donc, pourvu que F'(x) et W[x) ne s'annulent pas entre a et i, Tun des termes de correction de Newton donnera toujours une valeur plus approchée de la racine

cherchée, et le terme qu'il faudra employer sera — ;:,t- —

si ¥"[x) et F'(j:) sont de signes contraires, et rrry-r si

Y"[x) et F'(.r) sont de même signe. Mais nous venons de

voir que — t„ — 1 et que —-—-, étaient positifs; si donc

F" (a) et F'(«) sont de signes contraires, F (a) et F" (a) seront de même signe; si F''(5) et F'(i) sont de même signe, F(A) et F'^(i) le seront aussi. De cette petite discussion il résulte que :

Le terme de correction à employer est celui pour lequel F(x) et F"(x) sont de même signe.

Cette proposition est duc à Fourier; si l'on veut avoir une limite de l'erreur commise en employant le terme de correction, il suffit de considérer le terme complémentaire

h^r^a^dh) X«F^ — X/t)

"' 2 "~F'(û) "" ^^ 2 ribf"'

F«td'T remplacer ^ ou A par J — a, et F''(i — >.A) par le I maximum M de F''(x) dans l'intervalle a, b: on a aiasi

- nîTEBFBÉTATIOII GtOHËTBIQDE DE t& MÉTHODE DE KEWTON. HËTHODE DE TAOSSE FOSIIIOU.

équation transcendante ou algébrique; la discussion l'de la courbe représentée par rùquation

I fera souvent connailre avec une certaine approximation I les racines de l'équation (i); d'autres fois on arrivera au même résultat par l'inlersection de deux courbes. Os I procédés sont décrits dans les Traités de Géométrie anallytique : mon intention n'est pas de va y arrêter, et je L fnpposerai que l'une des racines de l'équation (i) ait été riëparée.

Soient a etb^a deux nombres qui ne ccmprennent I qu'une seule racine de l'équation (i) ; supposons qu'entre -a cl b,J'[x) et /"(x) restent continues et ne changent I pas de signe.

Construisons la courbe représentée par l'équation (a); [ soient M le point où elle coupe l'ase des x, O l'origine I des coordonnées. Soient de plus Oi\!^=n, Olfr^A, KA' ^^J{a). B13'=^/(ft); la courbe que nous avons considérée ne pourra entre a et i arfecler que l'une des quatre formes suivantes; dans les quatre figures, si l'on mène la corde A6, OD sera une valeur approchée de la racine

TRAITÉ l)*ALGÊnRE*

et plus exacte que a et i. On remarquera en outre que, si Ton mène en A et en B une tangente, l'une d'elles coupera Taxe des x en C, entre la courbe oi Vabscisse du

Fig. a.

Fi^;. 3.

Fifî. /|.

Fig. 5.

AT

point de contact; OC sera une seconde valeur approchée de la racine et, ce qui est précieux, rapproxiaiatlon sera en sens contraire de celle l'ournie par la corde AB.

Voyons comment on doit choisir le point de contact pour que le point C remplisse la condition dont nous venons de parler. Sur la fig, S on ^f{h) <] o: le point B' satisfait à la question, le point A n'y satisfait évidemment pas. Or, on peut observer quey^(x) décroît; donc J'\x\ S^o : ainsi, au point de contact, /"'^(o') eiy(a:) sont de même signe. Le même fait peut su constater sur chacune des fig. 'À, 4> ^î reste à calculer OD et OC. Nous ne ferons le calcul que pour la fig, 3; les autres fourniraient des résultats semblables.

CUAPITRE III. 81

L'cquation de AB est

on en conclut, en faisant j = o et en résolvant par rapport à Xy

.V ~ 01) :~ Il — - — — - :

c'est la valeur approchée donnée par la méthode dite de fausse position ( * ).

L'équation de la tangente en B est

y-f[b] = [x-h)J'[b); on en conclut, pourj=<),

c'est la valeur approchée fournie par la méthode de Newton. Ainsi, en résumé :

Siy[x) et J"[x) conservent le même signe entre a et b en restant continues, on aura deux valeurs approchées, l'une par excès, l'autre par déjaut, en appliquant la méthode de jausse position et la méthode de Newton , pourvu qu'en appliquant cette dernière on parte de la valeur approchée de la racine pour laquelle f[x) etf{x) sont de même signe.

Application. — Résoudre

ILX — C()SX=:r o.

(•) On obtiendrait le tornie ilo — ■ :;: — r= h en admettiint que \v%

accr«>ihS(Muontii h et b — a de la variable «ont proportionnels aux accrois- »emonlA/;fii; ct/(^) — /("; de la fonction.