V — cosx = f'[x)f on reconnaîl, après quelques essais

que

Entre a5° et 26°, /"''(x) est positif; nous partirons donc de/(26**), et la méthode de Newlon fournira

X = arc 2D'* 7^0/ = 0,450?. = 25"4 7 4^

La méthode de fausse position donne

X ■=. arc 20° ^ . — — = o , j4qo = 2D"43' 32^.

Or on a

Les lermcs de correction sont :

-TTh-Tisî = - 3'45^6 Newlon ,

0,0005578X0,0012 ^irtin f ,e •• N

TTTT = — 345*4 ( fiiusse position j ;

ou en conclut, à une seconde près,

xn:25"43'55^

nr. — UÉTHODE DE LAGaANGE.

Cette métlioile apprend à développer l'inconnue en fraclion continue. Soit a une valeur approchée d'une racine

de l'équotion F(.r)=o', on pose jr=::a-h — cl l'oi

l'équatinn F ( *« -f- - j = o ; on la ramène à la l'orme enli

et l'on trouve ainsi une équalion telle que F, (.),) = Soit a, une valeur approchée de x, : on posera eue

X, ^ n, H et l'on obtiendra une transformée Fj (ts) =

et ainsi de suite. On en conclura

Dans les applications de cette méthode, il conviendra de séparer les racines de l'équation F(.r):=o et de transformer d'abord celle équation de manière que ses coefficients soient entiers et que la dilTércnce entre deux racines soil plus grande que l'unité, ce qui se fera en multipliant les racines par une puissance conveuiible de lo. Quant BUS nombres a, a,, a^, — , on prendra pour ces valeurs les plus grands nombres entiers contenus dans les acines x, x,, x-, - . --

Quand on ne procède pas comme nous venons de le dire, on pcutélre entraîné à des calculs très longs et très pénibles. De plus, la méthode que nous avons indiquée en dernier lieu dispense de séparer les racines des i lions successives F(xi), F(j~i), ... qui ne doivent avoir qu'une racine supérieure & l'unité.

Appliquons ces considéralions à l'équation du second degré à coefficients entiers

et, a

«■'• + ?■'--*- 7 = 0 , a„ désignant des entiers positifs, sup-

^1 Tr.AiTK D*Aix;éBns.

posons que Ton ail trouvé

X = rt H- -

tin -r- - •

Soit - la dernière rédiiîle que Ton obtient en négligeant

le terme irrégulier — (quotient complet); soil — ^^ Tavantdernière réduite obtenue dans celle hypothèse : on aura

Si Ton porte celle valeur dans Téqualion (i), on aura

a, [j, / ayant les valeurs suivantes :

Do la première de ces formules (a) on lire

Or, ' - est une valeur approchée de x ((ue Ton peut

ie[)résciiler par .r -h c, g désignant un nombre qui tend

p vers zéro pour /i = oo ; remplaçant donc :.r^^ par J-hc,