CHAPITRE III

OU; CD verlu de réquation (i),

maison sait que e est moindre en valeur absolue (pie 7-^ donc

Y < 2ajr-4- p -+- -rry- en valeur absolue;

done y' ne croît pas indéfiniment; a', pour une raison analog;uc, ne croît pas non plus indéfiniment. Enfin, on verrait que p' ne croit pas non plus indéfiniment avec ti en remplaçant dans i^expression ('2) de |3' les fractiods

- - cl -~— par jr -h Ts cl .?• -f- y/ et en observant ensuite que

Les nombres a', f:', / sont donc entiers et moindres que des nombres que Ton peut se donner a priori. LY*quation a'x* -+- (S\r,v-4-/= o, qui définit x^, finira donc par se reproduire, et Xn finira par reprendre une valeur qu'il possiidait pour une valeur moindre de n. Il résulte de là que la froc lion x sera pcriodique. Ainsi :

ÏHÉoui:Mi:. — Les racines d'une équation du second degré à cor/jicinnts entiers peuvent se développer en fractions continues limitées ou périodiques.

Ce beau théorème est de Lagrange; la démonstration très simple que nous venons d'en donner appartient à M. Charve.

lii'ciproquement, tonte fraction continue périodique est racine d'une équation du second degré (à cooriicienls entiers, si les fractions intégrantes sont les inverses de

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nombres entiers). En efTet, considérons la fraction

"rt

dans laquelle on n*a écrit que les termes constituant une période. Appelons j' la partie périodique, j: sera de la forme

- ; 5 a, hy c, d désiârnant des nombres connus. Or, si

c -h tfy » ' ' o >

Ton borne la valeur de^ à une période, en appelant -^ et -

les deux dernières réduites, on a y =. » ce qui dé-

montre que 7' est racine d'une équation du second degré,

et il eu est de même pour x évidemment.

IV. — MÉTHODE DES SÏÏBSTITUnOHS SUCCESSIVES. Lorsqu'une équation peut se mettre sous la forme

il est souvent avantageux de procéder comme il suit : soit a une valeur approchée ; on aura une valeur encore plus approchée en prenant

en désignant par «, cette nouvelle valeur, on en obtient ane encore plus approchée par la formule

et ainsi de suite. Cette méthode est celle que Ton applique à Téquation ax^-r bx'{-C'=-o lorsque a est très petit;