V. — DES ÉaUATIOHS ttUE L'OI PEUT BÉSOUDBE
PAB ABAISSEMEHT.
yihaisser une équation, c'est lui faire subir une transformation qui diminue son degré et qui, par suite, facilite sa résolution.
On abaisse facilement les équations dans lesquelles les exposants de x sont multiples d'un même nombre |cx; en effcl, il suffit pour cela de prendre x'^ pour inconnue et d'employer la transformation a"* = J'.
La connaissance d'une relation entre deux racines per-
met souvent TabaissemeDl. Ainsi, par exemple, si Ton sait qu'il existe entre deux racines a et j5 de f[x)=: o la relation y (a, (3)= G, on observera que Ton a
L'élimination de ex. donne une relation telle que
Cette équation ety([D)= o ont alors une racine commune ou plusieurs racines communes que Ton obtient par des procédés que nous exposerons plus loin et qui conduisent à résoudre une équation de degré moins élevé en général que Téquation proposée.
Lorsque l'on sait que les racines d'une équation peuvent se partager en groupes tels que, Tune étant a, une autre soit ^(a), en sorte que 6[0(a)]= o^, on l'abaisse par la transformation j* 4- 0(.r)= )*. En effet, le nombre des racines de l'équation en y sera moitié moindre que celui (les racines de l'équation en jr, l'expression x-{-B[x) n'ayant qu'une seule valeur quand on remplace x par deux racines de l'équation en x. L'équation proposée s'abaisserait évidemment aussi en posant j) = x6{x) ou en prenant pourj)' une fonction de x et de 0{x) qui ne change pas en permutant x et 9, 11 faudra toutefois, pour que la méthode réussisse, que la fonction que l'on aura choisie de X et 0{x) ne se réduise pas à une quantité indépendante de X.
Su])[)()sons, par exemple, que l'on sache que l'équation fi^x)^^ (» est telle que ses racines aient deux à deux pour produit I ou — i : une telle équation est ce que l'on appelle une (u/ualion réciproque. On abaissera cette équation en posant
y =z .r -J- - on y zzz. r .
CIIAWTRE III. 89
Arrélons-nous quelques inslants à ce cas, qui esl inléressant. Pour qu'une équalion de degré pair
( I ) Ao.r-'" -4- A , ./•»'"-« -+-...-+- A.,„i X -+- Aî,„ = 0
soit réciproque, il faut qu'en changeant j: en it - elle
conserve les mêmes racines. Or, par ce changement, elle devient, après Tévanouissemenl des dénominateurs,
(2) Aoit A,.r4-...=lzAj,„,.r*'" ' -^- A,„,./-"' = o.
Les équations (2) et (1) devant avoir les mêmes racines, leurs premiers membres doivent être égaux, à un facteur près; en d'autres termes, leurs coefficients doivent être proportionnels. On peut considérer d'abord le cas où le produit de deux racines est égal à -+- 1 . Alors on a
Ao A| A„i -A?'/;
et l'on voit que les termes également distants des extrêmes sont égaux. Réciproquement, s'il en est ainsi, l'équation ne
change pas quand on la transforme en -• Si le produit de
deux racines est égal à — i, il iaut distinguer le cas 011 m est pair de celui où il est impair. Si m est pair, on a
Aq= \^„,, Ai^=^ ^sm-li Aj=:iAj,;^i, A^:=-^ — Aj,;|3, ...;
sinon.
Une équalion de degré impair peut être réciproque, si elle admet pour racine i ou — i; mais en supprimant cette racine on sera ramené à une équation de degré pair. Dans une équation réciproque de degré impair, les termes également distants des extrêmes sont encore égaux ou égaux et
de sigTies contraires. Soit donc une équation réciproque de degré pair
Ao.4*"*-f- Ajo:-'"-'-!-.. .-+- A„,x^-I-. . .-4- AiX-+- Ao=0.
Kcrivons-la ainsi en divisant par x*" :
-h A,;,., Lr-h- j -+- A;„=0.
bi nous posons a: H — = } , nous aurons
et en général j;'"H — — sera un polynôme entier en j' de
degré m.
Posons en effet
Multiplions cette équation parx H — =.) , nous aurons
OU
OU enfin
Celle formule permet de calculer Pm+i en fonction de P;,i et de Pm i« On voit que, si Ton fait m =2, Ps sera un polynôme du troisième degré en^, puisque Pj est du second degré et P| du premier^ que P4 sera du quatrième degré, etc.
CIlAPITaB III. 91
Celte transformation donne une équation du degré m en r* Quand on Taura résolue, l'équation
x H — = j ou u.* — xy -^ iziz o
fera connaître les deux valeurs de x correspondant à chaque valeur àej.
L'équation
se résout en posant
Les équations réciproques du huitième et du neuvième degré se ramèneront ainsi à des équations du quatrième, que Ton sait résoudre comme nous le verrons.
Supposons encore que, étant donnée Téqualiony [x) = o, on sache- que la différence de deux racines a et & est 0. On aura
On tire de la dernière b=z a — d, et par suite on doit avoir à la fois
Ces deux équations ont une racine commune a au moins. Donc f (a) et /{a — $) ont un plus grand commun diviseur D, et Téquation D =: o, de degré inférieur à /{a)^ admettra parmi ses racines la racine a.
92 TRAITÉ D*ALGÈDRE.
¥1. — ÉaUATIOHS BnrOMES.
On donne le nom (ï équations binômes aux équalions
de la forme
Ces équations, comme on sait, se ramènent à la forme
x'"- dz 1 = o.
Les racines de Téquation
(l) .r"' — l=rO
sont données, comme on Ta vu (t. 11, p. 72), par la formule
or z=z cos h V — ' sm 9
où h désigne un nombre entier quelconque. On peut d'ailleurs vérifier, au moyen de la formule de Moivre, que la yjjiemo puissance de cette expression est
(;o i 2 / rr -j- \—-i sin 2 X -,
c'est-à-dire un; quand on y fait A= o, i, 2, ..., 77/ — i, on obtient dVii Heurs m valeurs différant, soit par le cosinus, soit par le sinus, de leur argument; en sorte que le calcul
de sin- ' ' et de cos* -'* se ramène à la résolution de Té-
ni m
quation (1). Le côté du polygone régulier de m côtés est éffal à 2 sin- '"; ie laisse à dessein le facteur h sous le
signe sin, parce que, outre le polygone régulier ordinaire de m côtés, il existe encore dans la plupart des cas des polygones ctoîlés oblenus en joignant les sommets du polygone ordinaire de deux en deux, de trois en trois, etc. En procédant ainsi, on ne forme pas nécessairement un
