CHAPITRE III

pol)^gone de m cûlés; pour que ce polj-gone existe, il faut que l'on ne revienne au sommet dont on est parti sur le polygone convexe qu'après avoir traversé tous les autres sommets. Supposons que Ton ait joint les sommets du polygone convexe de Ar en h\ si Ton revient au point de départ avant d'avoir passé par tous les autres sommets, c'est que n fois Ar forme un multiple de m; en d'autres termes, m et Ar ont un diviseur commun ; réciproquement, si ni et h ont pour diviseur commun d, en joignant les sommets du. polygone convexe de A' en h y quand on aura passé par d sommets, on sera revenu au point de départ; on

n'aura donc décrit qu'un polygone de — côtés. Ainsi :

La condition nécessaire et suffi santé pour obtenir un polygone étoile de ni côtés en joignant de k en k les sommets du polygone convexe est que ni et k soient premiers entre eux.

Nous venons de dire que asin — ^ représentait le côté du polygone régulier de m côtés, polygone convexe si A = I , étoile si k et //i sont premiers entre eux ; or sin - - '

est le coefficient de ^ — i dans les racines de l'équation

JL* " — I r: o.

Ainsi, on voit que la résolution de l'équation binôme a une liaison intime avec l'inscription des polygones réguliers convexes ou étoiles.

Remarque, — Si Ton représente par a la racine de l'équation (i) qui a le plus petit argument positif, les autres racines dé cette équation pourront être représentées par a-, a', . . ., y/'""', a" =^ s : celte remarque nous sera utile plus tard.

Résolution de x* — 1 =0. — Cette équation se dé-

9f m.im DALGEDnE.

compose en deux autres :

.r' — I = O, Jr'-h I = O.

Les quatre racines de l'équation pl*oposée sont donc données par les formules

.r = lil I , .r=z± \l — I ,

et, comme on doit avoir

X = COS ; h l/ I Mil y— 5

on en conclut, après une discussion facile,

COS- = O, COSTT = — I, COS — =r: O, C0S27r = I,

sm-=i, sin7r=:o, sm — •=^ — r, sm2 7r = o.

Résolution de x* — 1 = 0. -r- Cette équation se décompose en deux autres :

x> — 1 = 0, déjà résolue, et or* -j- i = o; la seconde donne

ou bien, en appliquant la formule identique

v'A^ = l/ii4l^"±y/i^f^'.

démontrée (t. I, p. 17^),

GIIAPITBE III. 9 3

on a donc

Dans celle formule, on doil supposer k impair; on en déduil

CCS —77- = db — •> sm -r,- =1!:: — •

Le plus pelit arc compris dans la formule — - ayant son

sinus el son cosinus positifs, on a