L. — jélgèbre, III

TBAITE

D'VLGâBEE.

et en

observant

que

Féquation (3) d

cvient

d^où

Fon tire

■i-Hv'5

Mais Téquation (4) donne

or ==

on a donc finalement

x=: ; — ^— dz^vî — i::iiv/5j — i6

OU bien

-IZÎZv/^ . I

x=^ __Ll±l \ho±'?. \5J—i.

En discutant convenablement cette formule, on trouve

tlk — 1-4-4/5 4^^ — ï — v5

cos -^ = 7 — ^— » cos -' - = j — î—,

ôtt — 1 — v5 ^^ — ï "*" ^^5

cos -^ = > — ^— y cos -=- = ; 9

. 7.7r I ,- • ^'f ' ./ rp

sm — r = 7 V 10 -i- 2 i/f), sin-î^- = 7 V 10 — 2 v5,

. 67r 1 . ;= . Stt I / 7=s'

sm — = — -:y/io— 2v/5, sin — = ~ y V ïO H- 2 v5.

Résolution dex*^ — i = o. — Celle équation se décom« DOse en deux autres :

X* — 1 =r o, déjà résolue, et x* -h i = o.

CHAPITBE III. 99

Mais cette dernière a évidemment ses racines égales et de signe contraire à celles de la première; on a donc, en particulier,

sin — = 7 V 'o — 2 v5, sin — = -7 y lo -h 2 v5; 10 4 10 4

les doubles de ces quantités représentent les côtés du pentagone régulier ordinaire et étoile.

Résolution de x^^ — i = o. — Cette équation se décompose en deux autres :

.r*o — 1 = 0, (Irjîi résolue, et x-^^ H- i = o.

Mais, si dans la première on change x en x y — 1 , elle se transforme dans la seconde ; on conclut de là la valeur du côté du décagone ordinaire et du décagone étoile :

^* . , ,» !.. .air — 1-1-^5

Cote du decai^one ordmau^ = 2 stn — = j

Côté du décagone étoile = 2 sin — = — :

la diflerence des côtés de ces polygones est donc égale au rayon.

Résolution de x*' — 1 = 0. — On reconnaît immédiatement que son premier membre est divisible par x' — i et par x^ — i ; en supprimant d'abord le premier facteur, il vient

Le premier membre de cette équation n*est plus divisible par or* — i , mais il Test encore par ou par x^ 4- x 4- 1 ;

fOO TRAITÉ D*ALGÈBaB.

CD supprimant ce facteur, on a

Cette équation est réciproque et son degré s'abaisserait en posant X H — =i z^ mais il vaut mieux chercher à résoudre Téquation (5); celle-ci se déduit de Téquation

en y remplaçant x par x*, en sorte que,/ désignant une racine de Téqualion précédente, les racines de l'équation (5) sont données par la formule

Les racines de l'équation (5) sont donc les racines cinquièmes des racines de l'équation (6); on les obtiendra en multipliant les racines de l'équation (6) par les racines cin(|uièmes de l'unité. On trouve ainsi

i\/iozt-^'ûv-i j— i

Vn. — THÉORÉMŒS DE HOIVBE ET DE COTES. Si l'on désigne par a la quantité