CHAPITRE III. lOI

égal à rargiiment, les quantités i, ar, a-, . . ., a'""* pourront être représentées par les rayons d'un cercle décrit du point O comme centre et faisant avec Taxe OX des angles

égaux à o, '^-9 — » . . ., ou, si Ton veut, par les rayons

ni m \ j

d'un polygone régulier de m côtés ayant son centre et l'un (le ses sommets sur OX. Si l'on désigne alors par Ao, A|, Aa, .,., A;n i les sommets de ce polygone, et si OM représente la quantité a*, en vertu du théorème démontré t. II, p. 66, a: — a' sera représenté par A/M, et par suite le module de x — a' sera A/M. En prenant alors les modules des deux membres dans la formule (i), on aura

AqM. A|M. AoM. . .A,„,M = m()d.\r'" — i )

ou, si l'on pose x = r(cos 0 -4- y/ — i sinô),

AoM. A, M. . . A;„, M = VH"* — ar"' cos/;i 5 H- i ;

c'est dans cette égalité que consiste le théorème de Moivre, Si l'on fait ô = o, le second membre devient /•"* — I et l'on a le théorème de Cotes.

CoiioLLAinE. — Si l'on divise les deux membres de la formule précédente par A© M = r — i dans l'hypothèse où ô= o, on a

A,M.A,M V,„iM = r'' -» -h r'"-* H- . . +1.

Si l'on fait tendre r vers l'unité, il vient alors

A 1 M . A f M . . .A ,„— i jM = m.

Cette formule exprime que le produit des diagonales d'un polygone régulier de m côtés issues d*un même point par le carré du côté de ce polygone est égal à m fois la [m — ij»'™e puissance du rayon du cercle circonscrit.

lOll TBAITÉ D*ALGéBRE.

¥in. — ÉauATiom du troisième deubé.

Nous avons vu que, en augmentant toutes les racines d^une même quantité facile à déterminer, on pouvait toujours faire disparaître la (m — i'y»<^^«« puissance de Tinconnue dans toute équation du degré m\ nous pouvons donc considérer Téquation du troisième degré sous la forme

(1) x'-^-yïjr -+- /y = G.

Pour résoudre cette équation, nous poserons

(2) j:=:j-f-s; elle deviendra alors

j» -f- z' -f- ir -4- 3) (3.r3 4-/^)4-7 = 0.

Nous pouvons profiter de rindétcrmination de j^ et de z, pour poser

Tcquation précédente pourra alors être remplacée par celle-ci :

Les équations (3) et (4) déterminent entièrement y et 3, et par suite x; de Téquation (3) on tire

Les équations (4) et (5) font connaître la somme et le produit de j' et z^; ces deux quantités sont racines de

Téquation

GUAPITBE III. lo3

d'où Ton lire

et par suite

Chacun des radicaux qui figure dans cette formule a trois valeurs, de sorte que x paraît susceptible de neuf valeurs y quoique nous sachions cependant que Téqualion (i) n'a que trois racines distinctes. Ce paradoxe s'explique facilement en observant que les équations (4) et (j ), qui nous ont servi à déterminer r et j, sont plus générales que les équations (3) et (4)y auxquelles j' et z sont assujettis à satisfaire; aussi ne devrons-nous prcridre

que les valeurs de j et z dont le produit fait — r • Soient j'i

et 2| des valeurs de i et de z satisfaisant à cette condition, I, y ety^ les racines cubiques de l'unité; les valeurs de )■ sontj^'i, j\)Ut pj i î celles de z seront Zt, Jz^,p Zi. Cela posé, avec z^ on ne pourra combiner quej^j, car

les autres valeurs de ^> ne donneraient pas rz = — ^.

avecy-| on ne pourra combiner quey^ ) i, et avec y'' C| on ne pourra combiner quey'^i, en sorte que les racines de ré(| nation (i) seront

dans tout ce qui suit, nous supposerons/^ et q réels. La formule (6) est très incommode pour le calcul des

I04 TRAITÉ I>*ALGèBBB.

racines de réquatîon (3) : lorsque la quantité ^ -f- — est

positive, on voit clairement que Téquation (i) a deux de

ses racines imaginaires ; mais, lorsque y- 4- ^ est négatif,

les racines sont compliquées de radicaux, et il n*est pas possible de décider immédiatement si elles sont réelles ou imaginaires.

Si nous supposons ^ -^ '—- = OjTéquation (i) acquiert

manifestement deux racines égales.

Voici maintenant un moyen de calculer les racines de Téquation (i) au moyen des Tables de logarithmes :

I® Supposons d'abord y H <Co; on pourra poser

— - 4- \/~ H- — = r(cos0 H- v^— j sinô):

on en déduira

la lormule (6) deviendra alors

X = ar^ fros--»- \f—i si"- 1 + i^H f ces-— \'— i sin- jt

a et |3 désignant deux racines cubiques de Tunité dont le produit fasse i . Si Ton prend alors a = i et (3 = i , on a

jri= 2r=*C0S -\

en prenant a = cos-^-4-\/ — isin-^i il faudra prendre