DE L'ÉLIMINATION ET DES FONCTIONS SYMÉTHIQDES
I. — sm LSS BICINES DES ÉQn&TIOKS 071 COimESniHI DES PARAMÈTRES VARIABLES.
Quand les coefficients d'une équation sont des fonctions d'un paramètre variable (et ce paramètre peut être l'un des coeflîcienls lui-même), les racines sont évidemment des fonctions de ce paramètre. Nous allons démouLrcr que :
TuÈOBÉME. — Si les coefficients d'une équation sont fonctions entières d'un paramctre, les racines sont Jonctions continues de ce paramétre.
Lëm^mii^. — Si les p derniers coefficients de l'équation
tendent simultanément vers zéro, p racines de l'équation tendront simultanément vers zéro.
En effet, soient et,, aj, ..., a„ les racines. Puisque a„ tend vers zéro, ix,a^. ..«„,, produit des racines, Leud aussi vers zéro; donc l'une des racines ^„ au moins tend vers zcro. Or on a
le signe S indiquant une somme de termes analogues à celui i]ui est écrit et obtenus en permutant les indices i ,
a, , , ,, m — I, (»■ Mais, si at„ tend vers zéro, il faul que le terme a, a^ ... «„,■, le seul qui ne contienne pas ol„, teode vers zéro, ce qui exige que l'un des facteurs de ce produit, «n-i par exemple, tende vers zéro. Si a„^t tend aussi vers zéro, comme l'on a
il faul que le second membre de celte formule tende vers zéro, et, comme «„ et x„, tendent vers zéro, il taut que le seul terme de 2a, ni . . . «m-i q"' ne contient ni «m ni ^m-ii ^ savoir x,a.j. . .a„^i, tende aussi vers zéro, ce qui exige que l'on ait, par exemple, Xa-2 ^ o, ....
Réciproquement, il est clair que, si p racines tendent vers zéro, les p derniers termes de l'équation tendent vers £éro.
Nous pouvons maintenant démontrer notre théorème; en eflel, si nous supposons que les coefficients de l'équation (i) soient fonctions entières de^', on pourra représenter le premier membre de celte équation pary"[a7, j'J,ydésignant un polynôme entier. Supposons que pour^^|3 l'équation (i) ou /"(x, j) ^oailp racines égaies à se; alors on aura, pour j" = [i et .f =^ st,
Or, en posant x = a + A, l'équation (i) devient
HA
Si l'on suppose y = ^, cette équation en /i a, en vertu des
formules ( 3 ), /> racines nulles; donc, quand )- tend vers p,
I Jie^irr. m. 8
1l4 TRAITÉ D'ALGÈBRE.
p raciDes de cette équation tendent vers séro, on, ce qui revient au même, p racines de (r) tendent vers a; donc cnfm les racines simples ou multiples de (i) sont des fonctions continues de j^. c. q. f. d.
Remarque importamte. — Si les p premiers coefjicients d'une équation
tendent vers zéro, p racines de cette équation croissent indéfiniment.
Car p racines de la transformée en -
^0 -f- /ij jr H- . . . -f- Op-vP -h ...-*- «;;i J:'" = O
tendent vers zéro.
Une équation à deux variables telle que ( i ) , dans laquelle aoy ai y a2, • . . sont des polynômes de degrés o, i, 2, . . . respectivement, sera dite du degré m; si Ton suppose que «0» «<> • • •> ^p-i tendent vers zéro, p racines x de cette équation croissent au delà de toute limite ou, si Ton veut, sont infinies pour ao = o, . . . , a^.4 = o. Nous dirons alors que l'équation en réalité du degré m — p en x
est du degré m et admet p racines infinies. C'est là une façon de parler nécessaire pour l'exactitude de certains théorèmes qui sans cela manqueraient de généralité.
n. — BEBIARaUE SUE LA DIVISION DES P0LTN01QI8.
Considérons deux polynômes
f[x) = flTo -f- <7j .r -4- . . . -4- a„^.z"\
