CHAPITRE IV. Il
divisons-les l'un par Tautre, en ordonnant le quotient, par exemple, suivant les puissances ascendantes de x; arrêtonsnous à un terme de degré i. Soient Q/(x) le quotient, x'+*Ri(x) le reste, et
nous aurons
/*n*étant pas en général divisible par F(x), le quotient Q, pourra contenir un nombre indéfiniment croissant de termes; mais on aura toujours, en divisant par F(x),
Je suppose maintenant que Ton sache d'autre part que ~-{ est développable en série convergente de la forme
F(ar)
je dis que Ton aura /o = <^o> ^'i=Ci> •••; en d'autres termes, la division pourra fournir le développement cherché. Cela suppose, bien entendu, Aq ou (^(0)^0, sans quoi
y au lieu de se réduire à ko pour x = o, serait infini,
et d'ailleurs Q,- contiendrait un terme en -•
Si nous appelons <Ji(x) la somme desi-Hi premiers termes de la série et x'+*<p,(x) le reste, la fonction (|// sera finie pour x = o et l'on aura
De celle formule et de (i) c
Si l'on fait jr:^o,on v et divisons par x; nom
To ^ Cfl. Supprimons !(q ctf,
En faisant encore j- ^ o, il viendra k, ^ C| et ainsi de
suite; si do
est développable suivant les puissances la division donnera le développement.
ascendantes <
Celte proposition est encore vraie quand ia = F[o) = o, car, £|, étant différent de zéro, elle sera vraie pour les fonc-
On verrait de même que, si l'on peut développer ^|r-^
suivant les puissances descendantes de x, la division donne le développement; seulement, au lieu de faire x=:o, on
fera x = qo , ou, si l'on veut, on changera x en - et l'on
sera ramené au cas que nous venons d'examiner.
m. — SOMMES DES PUISSANCES SEMBLABLES DIS RACimS D'DIIE ÉODAIION.
On appelle /onc(ion sjmélriçue de plusieurs quantités a, h, c, ... une fonction dont la valeur ne change pas quand oa permute ces lettres entre elles : ainsi «H- i -t- c, abc sont des fonctions symétriques de a, b, c.
CHAPITRK IV. 117
Nous allons montrer comment on peut calculer les fonctions symétriques des racines d'une équation sans pour cela avoir besoin de la résoudre.
Nous commencerons par montrer comment on peut calculer les sommes des puissances semblables des racines. Considérons Téquation
(1) /(x) = 0 ou /7;„-|-a;n-lJ^-+-«m-î-^*-*-"«-t-«0J^"* = O;
soient a, (3, . . . , X ses racines. Posons
(1) Si= 0* 4- S' -h ... -h V = 2a';
nous aurons, en particulier, On sait que
En prenant les dérivées des logarithmes des deux membres, on a
Supposons le module de x plus grand que ceux de a, (3, ...,).; on aura (par la formule de la pa{>;c 98 du t. il)
Ku portant ces valeurs dans (3) et en ayant égard à (a),
Jl8 TBAITE DALGEORR.
Donc, en vertu du théorème démontré au paragraphe précédent, SofS^ ,52,... sont les coefficients de -» — j^ • • • dans le
quotient de la division de f*[x) parfi^x).
On peut mettre 5o, ^j, .vj, . . . sous forme de déterminants. Écrivons (4) ainsi :
ou, en remplaçant y (x) par sa valeur.
Égalons de part et d'autre les coefïicients des mêmes puissances de X ; il viendra
et, en observant que So = m,
I <?, -4- jp, fl(, = o,
On en conclut à voJonté les Si en fonction des a/ ou les a/ en fonction des ç/.
0/ï prouverait de même que 5 i, 5-.2> ^-3» • • • sont les
coefficients dex^, x, x^, ... dans le quotient de — ,., J
ordonné suiv^ant les vuissances croissantes dex.
CHAPIThE IV. IJQ
Remarque. — En vertu des formules (5), si Ton suppose ^0= I, ce qui est permis, 5j sera du premier degré en a<, «2» ^3> • • • > car Si = — ^1 ; S2 sera du second degré, 53 du troisième, etc., 5/ du i**"* degré.
On appelle poids d'une fonction de ao, aj, «a, ...la somme des indices des lettres qui y entrent : ainsi le poids de a^al sera 4 -f- ^^ X 3, etc. Il en résulte que le poids de Si est I. On peut le vérifier en observant que, si Ton remplace ^0,^4,^2, • . • par
m m(m — i) , mlm — i](m — 9.) ,
f{x) devient (x — a)'" et 5, devient ma'.
Théorème. — Toute fonction symétrique rationnelle des racines d'une équation algébrique s'exprime rationnellement à taide des coefficients de cette équation.
Il suHit évidemment d'établir ce théorème pour les fonctions symétriques entières ; or, toute fonction entière des racines a, (3,. . . , Xest une somme de termes de la forme koL^^J, . . ; si cette fonction est symétrique, elle sera la somme de termes de la forme
Si donc nous prouvons que cette fonction s'exprime ra* tionncllement au moyen des coefficients de Téquation, le théorème sera démontré. Or on a, pour i^y,
et, dans le cas où i = j\
:t^^< pj = sj - s,..
ûti aarait de même, en supposant ( ■^j ^ k,
cl ainsi de suilc. Donc, elc. c. y, r, n.
Remarque. — On voit que le poids d'une fonction du degré fj. des racines d'une équation sera de poids ft par rapport aux coefficients; cela résulte de ce que Sj est de j>oid3 i.
