IV. — DE L'ÉUKUrATIOIl EN GÉNÉRAL

ÉlirrUner j:,y,M,, . . entre des équations L = o, M = o, N ^o, . . ., c'est trouver des équations qui soient des conséquences nécessaires de celles-ci et qui ne contiennent plus jc.y.z, .... Ces équations portent le nom de résut- Kmtes des éqUdttuDs proposées,

Pour éliminer centre les équations ifi(x)=: o,({'(x) = o, il suffit d'exprimer que ces équations ont une solution commune, ce qui peut se faire, pour fixer les idées, en égalant à zéro te plus grand commun diviseur de f(x) eti|'(-c)- Eu effet, l'équation qui exprime que y(:f)=o et '^{x) ^ o ont une solution commune est bien une conséquence nécessaire de ces équations, car, tant que CCS équationsn'auronlpasde solution commune, elles ne poui^ ronl avoir lieu en même temps. Toutefois, comme çfx) et ^{x) pourraient s'annuler ensemble, quel que soit x, en choisissant convenablement un facteur indépendant de x entrant dans if et dans \^, nous préciserons et nous appellerons dans ce Chapiire résultante de deux équations la condition nécessaire et sufjisnnte pour qu'elles aient au moins une. racine commune, à moins que nous ne prévenions expressément du contraire.

Nous observerons, en passant, que rien ne nous auto-

CBAPiTtie IV.

I que la r^sullanle de deux équi

tîsc â croire a prie

puisse remplacer l'une quelconque d'entre elles, el nous

prouverons d'ailleurs plus loin qu'il n'en est pas a

'général.

iUSHIliTIOll PAB LES FOSCTIOHS STKÉTBIQUES.

Considérons les deux équations

appelons a,, «a, ..., a„ les racines de la première,

p,,p, ^„ celles de la seconde. Pour que ces équations

aient lieu en même temps ou aient une solution commune, il tant que l'une au moins des quantités «, — |Sy s'annule, et cela est suffisant [j'écarte le cas où s< et tjj auraient un facteur indépendant de x commun et susceptible de s'annuler, où par conséquent l'on pourrait supposer <f{jc) = o, quel que suit x]. 11 faut et il suffit donc que l'on ail

ce qai peut s'écrire indifTérerament sous l'une ou l'autre des formes

jj:*(«,lt(".). .■♦(..)=<!, (-■)-"^t(P,)t(f.)---»(P.) = o-

Chacune de ces deux formules pourra se calculer par méthode des fonctions symétriques.

122 TAAITÉ d'algèbre.

La première forme de la résultante nous montre qu^elle est de degré m par rapport aux coefficients de ({/, la seconde qu'elle est de degré n par rapport à ceux de f . On peut voir que son poids est inn. En effet, un terme quelconque de la résultante est

hia1'*bjOL\-L..bkOL

le poids de i/iy. . . ^a est i 4-7 + . . . -hA'l celui de a;'-'<-A..a;;,-* est

n — i -\- n — / 4- . . . -4- /i — /' = mn — / — j — ... — / ;

le poids total du terme considéré est donc mn. De là résulte un théorème important :

Théorème de Bezout. — Si l'on suppose que aofa{,,.,^am soient des polynômes en y de degrés respectijs 0fi^2^.,,^m, que hQyb\y. . . , i/i soient également de degrés o, i , 2,..., /i respectivement par rapport à y, la résultante des équa^ tions 9 = 0, ij; = o sera de degré mn en y au plus.

En effet, le poids de la résultante est alors précisément égal à son degré relatif à j^, puisque chaque coefficient a un poids égal à son degré. La résultante est donc du degré mn au plus. Je dis au plus parce que certaines réductions peuvent parfois faire évanouir les termes en ^'»'», mais il est facile de voir qu'en général ces termes existeront, et, pour cela, il suffit de considérer un cas particulier où cette circonstance se présente.

Soit

on en conclut la valeur suivante de la résultante :