CHAPITRE IV. ia
on
y'"(p'} — Dipi — l) ... = O. C. Q. F. D.
On prouverait facilement que la résultante de trois équations
peut se mettre sous la forme
(ai, ^f), (a2, ^2)1 • • • désignant les solutions communes à çp = G, i = o, et ainsi de suite.
La méthode d^élimination que nous venons d'exposer a parfois des avantages, mais le plus souvent elle conduit à des calculs inextricables.
En voici une autre qui permet d'exprimer la résultante sous forme explicite. Supposons o(x) de degré /w, ^{x) de degré n et soit m^n et
f{x) = (a: ■— «1 )(ar — a,) . . . (a? — a,n ),
éZi , nro^ . . • désignant des quantités arbitraires inégales ; une fonction F(a;) quelconque de degré m pourra se mettre sous la forme
{voir au besoin le § I du Chap. V qui suit). En particulier, si l'on pose
on aura
0(j:, rt,) =0,,$, -+-0,,$, ...-»-0,„Ç;„
0(T, a,n)= 0«|lÇ|-h 0,„j;t . . .-T-0,„;;, J;ff.
Si dans ces formules on remplace x par les racines «i, «2» • • • > «m de ©(x) = o, on trouve m* équations en vertu desquelles
(3) S zt 0(a,, a, )0(a„ a,) • • • ^(«in, «m) = BX,
0 désignant le déterminant dont Tclément général est 0/y, ainsi
et X le déterminant dont Téiément général est
K^j-ai)f\aiy or
de sorte que (3) devient
( — i)/nn,};(ay)n<p(a/)2=t — î — ... — !
ai — ai a„i — a
= eA:^^i:±— : !
De là on tire, en observant que
n?(a/)=n/(ayX(-i)"«,
Il4;(ay) =
voilà donc un mojen très simple de former explicitement
n^(ay)et
est la résultante de (i), (2).
YI. — SUR LES POLTNOMES MÏÏLTIPLICATEUBS.
Lorsqup les deux équations
(i) <p(ar) = o, '^{x)-o
CBAPITHE IV. ia5
ont une racine commune x = a,tl existe toujours deux polynômes ft et ^, tels t/ue l'on ail
Quel que soit x, et réciproquement, si la formule (a) a lieu quel que soit x, ^i désignant un polynôme de degré inférieur à celui de ^ et Ç( désignant un polynôme de degré inférieur à celui de y, les équations (i) auront une racine commune.
En effet, soil a. la racine commune aux équations (i);
ideiUir[ucinenl
car cette formulerevient à»,iîii(j' — a) — ij;,a|(x — (i) = o; ainsi (a) est une idenlilé.
Réciproquement, soient m le degré de o. n le degré de i{i; soit m ?rt. Si la relalion (a) a lieu, y, étant de degré m — i et 'J'i de degré n — i, désignons par a une racine def ^o; elle annulera ^-J/, ; donc elle annulera o, ^. Or toutes les racines de f ^ o ne sauraient annuler ^,, qui est de degré inférieur à -f ; donc une des racines de ç annule '{*, et les équations (i) onlune racine commune.
Ce raisonnement ne tombe pas en dL'faut quand 9^0 a des racines multiples, car, si l'on admettait que y, possède ces racines, elle devrait les posséder toutes, à moins que ^ n'en possède une aussi.
Si les équations (t) ont deux racines communes, il existera des polynômes 91 et i, de la forme % ^ et
ï ^ 5-, de degrés//! — aet n — 2, satisfaisant à (-a)
quel que soil x, et réciproquement, s'il existe des pol^odnies de degrés m — u el n — a satisfaisant à (a) quel que
126 TRAITÉ D'ALGÂBRB.
soîtâ?, les équations(i) auront deux racines communes^ etc. y car sur les m racines de cp = o, en vertu de ridentité (a), ni — 2 seulement pourront annuler cp* et au moins deux d'entre elles annuleront ^, etc.
Si la formule (a) ne peut pas être rendue identique par des polynômes y i , ^i de degrés m — i et /i — i au plus, les équations (i) ne pourront pas avoir de racines communes, sans quoi il existerait de tels pol^'nômes.
