CHAPITRE IV

et désignons par R le déterminant S d= Cio^si • • • ^/<w-i des coetricicnts des polynômes îjpi, Ça, ..., ^,i; je dis que

sera la résultante des équations (i), (2). En effet, développons R par rapport aux éléments de sa première colonne

et soient

R = Ri cio -H Rj c*o -h • . . -4- R/i C/io )

multiplions la première équation (3) par R, la seconde par Ro, ... et ajoutons, nous aurons

o(a7)[R,-h Rjar-h...^-RrtiF'»-M — 4;(x)[Riyi-+-R,^,-+-...-+-R„y„l = RiQi-hR,o,-+-...-+-RnÇ„.

Le second membre de cette formule est égal à R, en isorte que

(5)cp(a-)[Ri-HR,ar,-+-...^-R„ar'»-i]-iK2r)[R,gr,^-...-hR„^;,] = R.

Dans celle formule le coefficient de ç est de degré n — i, le coefficient de ^ est de degré m — i, car q^j ^2» • • • sont respectivement de degrés

m — /ï, m — /i-hi, ..., m — /i-h /i — 1 = m — i.

Si donc R est nul, en vertu du théorème démontré au paraf^raphc précédent, les équations (1), (2) auront au moins une raison commune : R := o est donc bien la résultante elle reliée.

Celle méthode fournil, en même temps que la résultante R = 0, les polynômes multiplicateurs

Ri-H Rjr-T-. . ., Ri7iH- Ri^i- ..

et enfin la racine commune ainsi que ses n — i premières puissances (|ui sont les solutions des équations linéaires

138 TnAlTti D AUGKBRE.

Oi ^ o, ^j ^ o, . • , tfn = o, lesquelles se réduisenl an — i dislinctes eu verlu de R ^ o .

Remarque. — Si R est différent de zéro, les polynômes b el ^ n'ont pas de f'acteui- commun; en divisant les deux membres de (5) par R, on trouvera

Donc quand deux polynûmcs '^ et iji n'ont pas de facteur commun, en appelant m et n leurs degrés respectifs, il exislera des polynômes f, el ■{/, de degrés m — i et n — i donnant lieu à ridenlité (6).

Si les quantités R, , R^, ..., R^ étaient nulles, notre raisonnement tomberait en défaut; faisons alors abstraction de la dernière équation (3), développons R„ suivani les éléments c, , , C;, , . . , , c„, et soient

R„= S,c„ + Sic,i-H..

hS„,

Si nous multiplions la première formule (3) par S,, la deuxième par Si . . . , la n'"" par S„( el si nous ajoutons, nous aurons, en vertu des propriétés connues des déterminants,

ç(3')[Sl-|-S,H-...-4-S,-,37''-»]

•ile

<f, et <]i| de degrés n

el les équations (3) auront deux

[ polynôm

communes ; ces

ClllPtTIlE IV. |3g

deux racines s'obtiendront en éltminanl x*. x', ,.., jr"~' entre o, r= o, tp^ = o, . . . , ^„, =: o et l'on aura une équation du second degré en x qui donnera les deux racines communes. On verrait de même que si S( , Sj, . ■ . , S„, étaient nuls, les équations (i), (a) auraient trois racines communes données par une équation du troisièrpc degré, etc. Bien entendu, les racines communes peuvent (}tre infinies-

Eiilin, si tous les c,y étaient nuls, ^ serait divisible |>ar f

Thëobème de Béiout. — Supposons que a,- et bi soient des polynômes de degré i en y, il est facile de voir que R sera de degré mn en y. En effet, si dans le Tableau qui représente ce déterminant R on remplace cliaque élément par son degré, on forme le Tableau

et l'on voit que tous les termes du déterminant H développé seront du même degré mn.

a. — &ÉSOLUTION SB DIOI fifiOATIOHS A DEUX IHCOKHDXS.

Supposons maintenant que les équations (i) et (a) des paragi'aphes précédents contiennent une seconde inconnue ^, de sorte que a,- et bi soient des polynAmes entiers ea y de degré j, et proposons-nous de résoudre ces deux équations. Commençons par éliminer x, ce qui nous donne t'équaiion (4) de poids mn ou de degré mn cnv.

La ri'sullanic (.i) est une conséquence de (i) et (a), mais elle ne saurait remplacer l'une quelconque de ces iquations; rien ne le prouve, et nous allons même voir