L. - Algèbre, III

i3o THtiTK d'algèbre.

4ue le sjstème [(i), (4)]. qu' admettrait m'n solutions,

est plus général que [(i), (a)], qui n'en admet que mn.

L'équalioa (4) fait counaître les valeurs qu'il taut attribuer à j- pour que (i) et (a) aient une solution commune. Soit j', une de ces valeurs ; si l'on attribue alors à y cetle valeur, (i) et (3) n'auront en général qu'une seule racine commune :r,. Ainsi, en général, à chacune des racines j^ de l'équation résultante ('i), on ne pourra associer qu'une seule valeur de x. Les équations (1) et (a) ont donc seulement en général mn solutions.

Ceraisonnemenl tombe en défaut : 1° quand la résultante (4) a des racines égales; a" quand les équations (1), (a), pour la valeur jj-, de^ tirée de (4), ont plusieurs solutions communes. Ces deux cas rentrent, comme nous allons le voir, l'un dans l'autre.

Désignons par R le premier membre de la résultante ( 4 ) et par c un élément quelconque c/j du déterminant R. On a, par le théorème des fonctions composées,

rj=£r;,c;.

Si les équations (i), (2) ont deux solutions communes, tous les mineurs R^ de R sont nuls, R' sera nul et la résultante aura une racine double. On verrait de même, en appelant c et d deux éléments quelconques de R, que

R;.=ï(R;dC^4-i-R;c;,),

et, par suite, si (i) et (a) ont trois solutions communes, tous les mineurs du second ordre R^,, de R étant nuls, la résultante R ^= o aura une racine triple, et ainsi de suite. Cela montre bien que jamais les équations (1), (a) n'auront plus de mn solutions.

Le raisonnement qui précède suppose les coeflîcients ai, hj tout à fait quelconques et la résultante du degré mni