CHAPITRE IV. (Si

mais la rësultanle peut être d'un degré moindre, et une discussion devient nécessaire.

Puisque la résultante, dans le cas général, est nécessaireiseal du degré mn, si son degré s'abaisse, il faut que quelques-unes de ses racines soieat inllnies pour les valeurs particulières de a«, «,, ...,£g. — (nous avons expliqué le sens tle cette locution p. i a5). Les équations (i) et (2) sont alors satisraitea pour des valeurs infinies de^. A ces valeurs infinies de j pourront correspondre des valeurs finies de a; que l'on trouvera très simplement a priori eu cherchant pour chaque équation les valeurs Cuies de X qui rendent y infio'i, et pour cela il suffira d'égaler à zéro les coefficients des plus hautes puissances dej dans chaque équation; on aura ainsi deux équations dont les solutions communes seront les valeurs cherchées de a:. H j a plus: à des valeurs finies de^ pourront correspondre .des valeurs infinies de x. Ce phénomène se présentera (jtiand les équations (.1) seront incompatibles.

Disons enfin qu'à une racine double de R = o peuvent correspondre deux valeurs égales de x, et, en comptant la solution correspondante pour deux, on voit que l'on peut dire que deux équations de degrés m el n ont toujours mn solutions, simples ou multiples, finies ou infinies.

Remarquons, en terminant, que R peut être identiquement nul (quel que soit y ); alors les équations proposées ont un facteur commun el par suite une infinité de solutions.