CHAPITRE IV

THÉORIE DES RADICACX ARITIDiÈTlOCES.

L — DtriiiTievs.

On appelle puissance «'*" de A, comme on sait, le produit de n facteurs égaux à A.

On appelle racine n"** de A un nombre qui, élevé à la

Iîssance n, reproduit A; cette racine se désigne par le nbole suivant, appelé radical, s,

n désigne ce que l'on appelle Vindtce du radical.

Si le nombre A est positif et s'il n'existe pas de nombre

entier ou fractionnaire dont la puîssaoce n""* soit A; on

appellera racine n'*"" de A la limite vers laquelle tendent

fractions croissantes dont la r'*** puissance est inf^

ire & A, ou décroissantes dont la n*** puissance est

leure à A.

D'après CCS conventions, loul nombre positif aura une racine n"" positive, et une seule; de plus, il aura une racine négative égale et de signe contraire à sa racine pu- 'Ktive si n est pair.

f Les racines d'ordre pair des nombres négatifs n'existent pas; enfin les nombres négatifs ont une racine d'ordre impair négative.

Ces théorèmes sont trop faciles à démontrer pour qu'il 6oit nécessaire de nous } arrêter plus longtemps.

On efieclue sur les radicaux des opérations qui odI beaucoup d'analogie avec celtes que l'on cfîectue sur les fractions; nous allons les passer successivement en revue. Nous supposerons toujours les quantités placées sous les radicaux positives; enfin nous ne considérerons que la valeur positive des radicaux, en un mot leur valeur arithméliifue.

n. — BtDUCTIOH DES BADICAUX AU KÈHE miGE.

Théuhème I. — Lorsque l'on mulliplie par un ce; nombre l'indice d'un radical, on en élirait la n donl l'indice est égal à ce nombre.

Considérons le radical

Or, le produit de mn facteurs égaux à )/a est égal à a; donc le produit de n facteurs égau^ à i/a donne un nombre qui, pris m fois comme facteur, reproduit a : ce nombre est donc Yâ. On a donc

TnÉonÈME II. — Lorsque l'on divise l'indice d'un radical par un de ses sous-multiples, il se trouve élevé à une puissance dont l'exposant est égal à ce sous-multiple.

TaitofiÉwE m. — Lorsque l'on élève la quantité placée sous un radical à une certaine puissance, le radical se trouve élevé à cette puissance.

En effet, considé)

I Si l'on élève ce radical à la puissance m, ou trouve a*; tandis que Va élevé à la puissance m ne donne que a. Mais le produit de n facteurs égaux à Ta élevé à la puissance m donnera o; ainsi donc ( j/ô )" et v^ô" sont deui nombres (posilifs par bj'polhèse) (jtii, élevés à la puissance m, deviennent égaux. Ce .sont donc les racines m''™" d'un même nombre; ce sont donc deux quantités égales; donc enlin

REMAïQt'E. — Il est bien entendu, comme nous l'a dit en commençant celte diéorîe, qu'il ne s'agit ici que de nombres positifs; ainsi, il est bien clair que l'on n'a pas

i l'on prend les radicaux négativement.

TsÉOBÊHB IV'- — Lorsque l'on multiplie l'indice tl' un radical par un certain nombre et 4fue l'on élève la quantité placée mus le radical à une puissance dunt l'exposant est marqué par ce nombre, le radical ne change />as de valeur.

De là un mojen de comparer deux radicaux. Pour y parvenir, on les réduit au même indice en multipliant l'indice de chacun d'eux par l'indice de l'autre et en élevant la quantité placée sous cbaque radical à une puissance dool l'exposant est égal à l'indice de l'autre radical.

S'agit-il, par exemple, de trouver le plus grand des deux nombres

A* TRAITA d\lgébbe. ^^^I

on rtJdiitra l«! radicaux au même indice, et l'on aura

III. - HULTIPUCAnOir ET OmUOl SES U9ICADX. TiiËontHB I. — On a

lin cffel, élevons le premier membre de celle égalité i In puissnnce m, il faudra faire le produit de m facteur égaux â ^'\ et de m facteurs égaux à v^B, on obtiendn ainsi AB; donc le premier membre de l'égalité est bîei égal il la racine m"°" de AIî, c'esl-à-dire au second.

Cette démonstration s'applique évidemment à un nombrt quelconque de focteurs, et l'on en déduit, ce que nous sa> vions déjà,

rv'À)'=7r".

v^a: »'B = Va:b.

"lin effet, en multipliant " A:B par vB, on trouve "VX. lorsque l'on veut faire le produit ou le quotient de deux radicaux qui n'ont pas le même indice, on commence par les n'duirc au même indice, après quoi l'opéntlion n'offre plus la moindre difficulté.

TatokàMB m. — Si Van a une mite de raf/ports égaux 1 , , - «• ••

'5'ii^**» + »*i+.