CHAPITRE ir. n

Eo eOety des formules (i) on tire

«• «'" fl""

6» 6'* b"" et par suite (p. 82)

c'est-à-dire

I?. — FOBMULE SU BIIQHE.

La formule du binôme a pour but de faire connaître le développement de [x-ha)" en polynôme ordonné suivant les puissances de x. Il est bien évident que {x -h a)" est un polynôme en x du degré n ; on peut donc poser

(1) (x-+-a)«=A^x"-hA«,x»-*-+-A^^,x*-»-4- . . . -h Aç,.

An, A|,.|,. . . , Ao étant des coefficients indéterminés. Si dans cette formule on change x en r, il vient

Si Ton retranche Tune de l'autre ces deux égalités, on trouve

Or on a

(x-4-a) — (« -+-rt) =x-- s.

r>4 TRAITÉ d'algèbre.

Divisant membre à membre ces deux égalités, on trouvi

Cette égalité a lieu en laissant x fixe pour toutes les valeurs possibles de z, excepté peut-être pour z = x, caj nos calculs n^oQrent aucun sens dans ce cas. Néanmoins comme les deux membres sont deux polynômes entier en Zy égaux pour plus de valeurs de z qu'il n'y a d'unité,' dans leurs degrés, ils sont égaux quel que soit z, et ei particulier pour z = x. Si l'on fait alors z = a:, on trouva

N [x -haY'-^^nAnX"-^ + [n — i ) A„i .r""» -+- . . . -h Aj.

Multiplions les deux membres de cette formule parx+a nous trouvons

//(.r-4-^î)'*-— /îA;,x'*-4-[(« — i)A„i-i-/iaA„]x«-»-h ..-+-A,fl

Or, en multipliant par n les deux membres de (i), oi trouve

n [x -^ a)*^ = n \ f^x" -\- /iA„iX'*— * -f- ... 4- /iAq.

Or les deux développements que nous trouvons poui n [x -f- a)" doivent être identiques; on a donc (p. 44)

/jA„ = /iA„, /iA„, = («— i) A„-i-h//aA„, . . .,

♦■/i~--^/»t A;,-.! =:z — /ï A,j, A„2^^^ ^flA/^-l, ....

La loi suivant laquelle procèdent ces égalités est évidente, et, quand on connaîtra A«, on calculera successive