CHAPITRE IV. l

Théorème. Soient cp, ^ des polynômes entiers en x et en y des degrés m et /i, supposons m 5 n, il existe des polynômes A, jjl donnant lieu à V identité

V{jr^ y) étant un polynôme donné, et / désignant un polynôme en y seul de de*j[ré mn — i au plus.

En eilel, si nous supposons que cp et «{^ n'ont pas de résultante R(y) = o telle que les mineurs de R soient tous nuls en même temps, les formules (2) donneront, par exemple, en éliminant .r^, x^, . . . , .r"^*,

(4) :r-^-r.Pç-t-Qi}.-r-H;

acii

d'ailleurs on en tire aussi

(5) arB-PiO--Q,4;;

en multipliant la première par , la seconde par > ■••

et en ajoutant, P, Vt, (), Qi désignent alors des polynômes entiers en x et r, et H un polynôme entier en y seulement.

Or R et — ne sont pas nuls en môme temps : donc il

existera des polynômes w, t> entiers en y tels que

donc, si l'on multiplie (4) et (5) par u et v respectivement et si on les ajout(^ on trouve

M et j\ désipiantdes polynômes enliers et 0(^') une fonction entière de y; il est clair qu'en élevant les deux membres de cette formule à la puissance 2, .'5, ..., on

l34 TRAITÉ d'algèbre.

trouvera pour ^*, :r', ... des valeurs de la forme

et 6| sera égal à 6'(^') dans la valeur de x^\ il en résulte que tout polynôme entier F(j^, j^) pourra se mettre sous la forme

Je dis que l'on peut supposer y(^) de degré mn — i au plus; en effet, divisons/()') parR(r); soient W le quotient et /<(y) le reste, comme RQ') est de la forme X|(p -f- f^i ^, on aura

et le théorème est démontré.

Proposons-nous maintenant d'éliminer x ^V y entre les équations

des degrés /;, m, n respectivement cl à coefficients quelconques; d'après le théorrme précédent, on pourra poser

et si a/^/ désigne une solution de 0 = 0, i =0, on aura

Soient alors mn = 5 et

Si Ton pose

CUAPITRE lY.

• ^10 du

^iM ^îl

"is-t

dso ds\

dss—i

Xo(Pî) .

■■ Xo(P»)

X*-<(Pi)

XsMh) .

on aura, en vertu des formules (6),

D désignant le produit de toutes les dilTérences des quantités ^4, fia, . . . , p,; et en vertu de (7)

S ^- AD, d'où l'on conclut

A = o est donc la résultante des équations y =rr o, ç = o,

En supposant que les fonctions (f, ^, ^ contiennent un

paramètre z tout en conservant leurs degrés /w, /i, p^ il

est facile d'évaluer le degré de la résultante A = o. En

effet, si nous observons que l'on peut supposer toutes no»

formules homogènes en indice, le déterminant À, en y

remplaçant les éléments par leurs degrés par rapport à 2,

deviendra

son degrr est donc sp ou mnp, — On voit comment on démontrerait que les éqnalions ç = o, ^ = 0, X^^^ ^^^ mnp solutions, comment on pourrait les calculer et comment on éleudrait le théorème de Bézout à 4i À 5, ••• équations.

l36 TRAITE D* ALGEBRE.

On pourrait craindre, d'après Tanaljse précédente, que la résultante de trois équations, par exemple, fût de degré inférieur à mnpj mais on peut prendre un cas particulier où Télimination est facile et montre que ce dernier est mnp\ il ne peut pas être moindre dans le cas général. II suffit pour cela de considérer les équations

{z^i^x — Pi7)(5 — a,a- — Pj^). . .(;: — dpX — ^py) = o,

xm — ^//i =3 o, yn ^rt = o.

Les deux dernières équations ont mn solutions de la forme x^=^\z^ ^==jjl5, et il est clair que la résultante sera z'^'^pK == o, A désignant une constante.

n. — ÏÏSA6ES DE L'&nOKATIOH. — BEGHERGHE DES BAdHES mAGINAIRES DES ÉaïïATIOHS. — ÉVAHOUISSEMEHT DES BADI- CAUX.

L'élimination a des usages très-variés dans toutes les branches de l'Analyse.

Si dans une équation algébrique à une inconnue on remplace l'inconnue par x -{-j V— i^ elle prend la forme

Cette équation se décompose en deux :

En éliminant alors successivement x et y, on aura deux équations à coefficients réels, dont les racines, convenablement discutées, feront connaître les racines imaginaires de l'équation proposée.

Dans certaines recherches, on est conduit à des équations contenant des radicaux; ces équations, lorsqu'elles