CHAPITRE IV. l

ne contiennent pas de signes transcendants, se ramènent toujours à la l'orme ordinaire sous laquelle nous sommes accoutumés à considérer les équations algébriques. En effet, observons d'abord que, après avoir chassé les dénominateurs, les deux membres de Téquation seront deux fonctions entières des variables et des radicaux. Considérons, par exemple, Téquation

( I ) \/.r -h I V\r -h y j: H- I — V .r — ^x -f- i -f- j: — i r j: o. Si nous posons

(2) ^X^^ï-^X, *yjx-^X=:Z, ^yJx—X---U

nous aurons

IJZ — t -\- X — I=:o, ^ — —

Si Ton élimine alors j^, z, /, Téquation résultante ne contiendra plus de radicaux et pourra remplacer (i), à la condition, toutefois, que les radicaux, dans cette équation, seront pris avec leurs valeurs multiples; en effet, les équations (3) ne remplaceront les équations (i) et (aj qu'à cette condition.

Ainsi, par exemple, l'équation

n'a pas de solution, tandis que

obtenue en chassant les radicaux, admet la racine x=^ \, Quoi qu'il en soit, Téquation résultante, obtenue par la

l38 TBAITB d'algèbre.

méthode que nous venons d'indiquer, contient toujours les solutions de Téquation proposée, quand elle en a, de sorte qu'une discussion facile fait connaître les solutions à rejeter.

Xn. — PROBLÉB GâlÉRAL DE LA TBAISTOBEATIOS

DES ÉaïïATIOHS.

Problème. — Etant donnée une équation

admettant les racines «4, a^, . . ., a^y former une équa^ tion ayant pour racines les valeurs de la Jonction

Posons

et soient yi, j^'i •••OV ^^^ valeurs distinctes qu'acquiert j^ quand on y permute les racines ai, «>» • • •> «!»• Le nombre // de ces valeurs est au plus égal à i .2.3. . .m, nombre des permutations de m lettres, mais il peut être moindre; c'est ce qui arrivera, par exemple, si (f est une fonction symétrique; alors jtx = i. Si Ton considère alors le produit

Téquation F(j^) = 0 satisfera à la question. Or F(j^) est une fonction symétrique dcj^i, )2? •••>JV> ^^ V^^ suite de ai, (X2) • • • ) «m ; on pourra donc en calculer la valeur, et, en l'égalant à zéro, on aura l'équation transformée.

Un autre moyen déjà indiqué page 21 consiste a éliminer ai, «2» • • • ? «m entre l'équation

GIIAPITHB IV. l3g

et les équations

L'un et l'autre procédé seront généralement impraticables. Nous allons néanmoins en iaire une application à la formation de l'équation aux carrés des différences, pour une équation algébrique.

L'équation aux carrés des différences d'une équation donnée est celle qui a pour racines les carrés des différences que Ton peut former avec toutes ses racines.

Soient /'(j:) = o une équation donnée, «i, «a, . . ., «m ses m racines. L'expression (a,, — «2)^ est susceptible de

valeurs par la permutation des racmes. L équation

aux carrés des différences sera donc de degré • Pour

la former, nous formerons d'abord l'équation aux différences, c'est-à-dire qui a pour racines les diverses valeurs de l'expression ai — «2» Cette expression possède m^ valeurs, si l'on y comprend m valeurs nulles provenant de la soustraction d'une racine d'elle-même. Nous allons alors trouver une équation de degré m^ ; formons-la. Il faut éliminer oct et a^ entre

/(ai) 1=0, /(«,) = o, jr = ^i — (^i^ OU, ce qui revient au même, ai entre

/(ai)— o et /( j- 4- a, ) = o.

La résultante est

OU bien

Or y(a, j, y(aa), ... sont nuls, et cette résultante se

l4o TRAITÉ d'algèbre.

réduit, après la suppression de tu racines nulles, à

[/(«. 1-1- ir/'i".)^ •••][/'(«.) +ir/"(«.)+. ••]•••=<>.

Cette équation n'est plus que du degré

ni^ — ni zs=i m (^m - - i ) .

Si Ton observe alors que, a< — «a étant racine de cette

équation, a, — oct doit être racine aussi, on voit qu'elle aura

ses racines égales deux à deux et de signes contraires; elle

devra donc conserver ses racines quand on changera^' en

— y ; elle ne devra donc pas contenir de puissances impaires

1 1-. o I»' • 11 , i?i{in — i) dey. bn posant ^'2=z, 1 équation eu z sera de degré

et sera précisément Téquation aux carrés des différences.

Si Ton suppose que l'unité soit le coefficient de x*" dans f(x), on voit que le terme de degré le plus élevé dans l'équation en y aura aussi pour coefficient i ; or le terme indépendant de 7 est /''(a, )J^[<X'i). . . f[oc„i). Cette quantité est donc égale au produit des carrés des différences que l'on peut former avec les racines ai , «2» • • • ? «/«•

Le produit des différences a^ — aa est égal, comme Ton sait (t. I, p. i44)» ^" déterminant

et, si Ton fait son carré, on trouve, en posant Téa^=zs^ (p. i45),

.Vy .V| ... ^m-\

^rn—i ^m • • • •^2m— ï

Maintenant, indiquons quelques simplifications qui pourront se présenter dans l'application des méthodes que nous venons d'exposer.

Si Ton veut former une équation ayant pour racines des