CHAPITRE IV. Ijjl

fonctions 9 ( a"! des racines d'une équation donnée /'(x) = o, on pourra toujours, si 9 (a) est rationnel, le remplacer par Tine fonction entière de a de degré inférieur à celui de /(a) (que nous supposons entière, bien entendu). En i^ffet, soit

© ( .r Un^ •

On pourra toujours trouver des polynômes N et D tels ([ue Ton ait (p. 128)

Si dans la formule précédente on fait x:=:ay comme /(a) = o, on a

'^(a)D(a) = I ou ^(«)r.^^,

et alors ^ — - = /(«) D(a) se trouve ramenée à la forme

entière. Divisons ;^(a:)D(j?) par/ (x) : soit Q le quotient. K(x)le reste. On a

et, pour a: = a,

x(«;D(«) ou ^=:.R(a).

Pi(a) est de degré inférieur à /(a). Le théorème est donc établi.

En écrivant Téquation (i), nous avons supposé -, — ^|

irréductible, puisque cette équation n*a lieu qu'à cette condition. Si cette fraction ne Tétait pas, notre méthode

tomberait en défaut, mais Moi) serait nul et -]-. — serait

infini ; on connaîtrait d'ailleurs une racine dey'(j:) = o, et

I4a TR41TÊ d'algèbre.

il faudrait supprimer cette racine avant de faire la transformation (*).

Zm. — GOHDmOH POUB aU'UHE ÉQÏÏATIOI AR UHE BAGUE