CHAPITRE IV. j.p

3^ Remplaçons, dans l'équation y( a:) = o, x par- (c'e5f

ce que l'on appelle rendre l'équation homogène) ^ et chassons les dénominateurs; on aura une nouvelle équation que nous désignerons par /(j?,') ) =:o, laquelle se réduira à la proposée pour^ = i. Nous supposerons alors j^ = i. Nous allons voir quel avantage il y a à introduire cette lettre, dont la valeur est i. La fonction /'étant homogène, on a

et Téquation proposée peut s'écrire

Mais, comme on doit avoir^^ = o, Téquation proposée se réduit à /y = o, en sorte que Téquation A = o s'obtiendra en éliminant x ou x et^ ( car, en éliminant x^ on éliminej^) enlre /x= o, f'y = o, ce qui est plus simple que d'éliminer X entre y*=o ei fj,= o, car /^ est de degré moins élevé que/".

Supposons maintenant que l'on veuille exprimer que f\x) = o a une racine triple. Il faudra exprimer que

JV] = o, /, = o, /; = o

en même temps ; en éliminant x entre ces équations, on aura deux résultantes qui exprimeront la condition cherchée. Mais on peut simplifier le travail de l'élimination.

Rendons réqualiony(x) = o homogène ; on aura, par le théorème des fonctions homogènes (p. 174)

[m — ri/x(.r, y) — .r/;. -f xfly.

En vertu de f= o,y]^ = o et /, = o, ces formules de-

l44 TRAITE D*ALGBBRE.

viennent

et il suiïira d'éliminer x ou x ^X.y entre ces trois équations, évidemment plus simples que /*= o, /^ = o, ./^«= o.

En général, pour exprimer que/= o o\x fi^x^y^ = o a une racine d'ordre m -f- i , il faudra éliminer x entre

/v — fm -. fin fm

O — j yi», o - — y xy» -»» • • • » yx** — "•

HV. — SUE UHE MÉTHODE RAPIDE D'ÉUMISATIOI. Pour éliminer x entre deux équations

«0 ^'" H- «1 J?"*-* -f- - . -h ^/,n = o OU y =-r O,

Ôq x^ -+- b^ o;'*— * -f- . . . -h ^;j = o ou ij> = o,

on emploie quelquefois une méthode pratiquement assez rapide. Si m'^>n^ on multipliera ^J^ = o par aoX^^" et y = o par bo ; puis, par soustraction, on remplacera cp = o par une équation de degré m — i ; en opérant sur celle-ci comme sur(p=o, on la remplacera par une équation de degré m — a, et ainsi de suite. Considérons alors des équations de même degré

CqX'^ -}- Cj j:'*-* -f- . . . -I- c„ =: O, /^o-r'» -f- Ù^ x'»-* -I- . . . -T- ^„ — o.

Multiplions la première par Jq» la seconde parc©, et retranchons. Multiplions ensuite la première par b„, la seconde par c„, et retranchons. Nous aurons le système suivant, équivalent au système primitif,

(C| ^0— biCQ).v"-^ -+-. . .-+- [c„bn — b^CQ] =o, système qui ne contient plus x qu'à lu puissance n — i . On

ciiAPiruK IV. 145

remplacera à son tour ce système par un aulre plus simple, et ainsi de suite, jusqu'à la complète disparition de œ; mais il est clair que cette méthode introduit des solutions étrangères.

NOTES ET EXERCICES

1. Pour (éliminer X entre y(x) = o, >[/ (x ) = o, de degrés m et /i, on pont éliminer x^^ ^, J^'» . . ., x'»-»-»-* entre les équations

7 = 0. jTv = Oy .... jT^-iy =0, •]/ = 0, x!j = 0, .... a-'»-i«y = o.

(Méthode diai/tique, Sylvester.)

2. Trouver la condition pour que jt* -t- 4/^-*^ -j- C^x« -»- 4 ''J^ -*- * = o ait une racine double, triple, quadruple.