I. — FORMULE DE LâftBAHftE
Problème. — Trouver une fonction f[x) entière de x qui prenne pour x = sr , [5, y, . . . , X des valeurs données rz, i, c, , . .^ l en nombre 71.
Nous pouvons choisir cette fonction du degré n — i et poser
(i) /(x) = Ao -+- Aix -+- A,^« -h . . . -t- A„i .»•"-*;
nous aurons alors la suite d'égalités que voici,
/ rt = Ao-^ Aja -h Aja* -f- . . . -+- A^-ïa"-*, (^) I /. = Ao-f-A,.'5-f-A,p«-t-...-+-A„,;5«-»,
en nombre n; en les résolvant par rapport à A©, A|, . . ., \n-ii la fonction yT( a:) se trouvera complètement déterminée. L'existence d'une fonction y (a:), du degré n — i, satisfaisant à la question, est donc démontrée. On pourrait cependant craindre que le déterminant du système (2) soit nul; mais ce déterminant a été calculé (t. I, p. i^l)? 6t nous avons vu qu'il était égal au produit de toutes les différences que l'on peut former avec a, ,3, y, . . . , X. Or, ces quantités étant distinctes par hypothèse, le produit de leurs différences ne saurait être nul. Le système (a) est donc compatible et donne, pourAo, A|, ...,A;,|, des fonctions linéaires
l5o TRAITÉ D*ALGÈBRE.
de «, i, c, . . ., /(t. I, p. i4o)î en substituant ces valeurs dans (i), le second membre de cette formule devient luimême une fonction linéaire de a, i, ...,/, et nous pourrons écrire
(3) /(j:)=A^-+-B/y-t-Cc + ...-hL/.
Le second membre de cette équation devant se réduire k a, b, . . . , / pour j; = «, j3, . . . , X, on satisfera évidemment à la question en prenant pour  une fonction qui s'annule pour j: = jS, y, . . . , X et qui, pour x = cf^ se réduise à i, et, en choisissant B, C, . . ., L d'une manière analogue, il faudra donc poser
A = P(ar — P)(x — y). ..(x — X),
et, en faisant j: = a,
En divisant ces relations membre à membre, on trouve
on trouverait B, C, . . . , L d'une façon tout à fait semblable. La formule (3) devient alors
* (.r— «)(.r — yK. .[.r — /)
Telle est la formule connue sous le nom de formule d'interpolation de Lagrange,
La formule (4) peut s'écrire d'une manière un peu plus simple en posant
