CHAPITRE V. l5l

On déduit de là, en prenant la dérivée de cette expression,

et par suite, pour x = a,

n«) = (a-5)(a-7)...(a-À); de même

et ainsi de suite; la formule (4) devient alors

^ r [CIL) jc — a h [p] X — p

n. ~ DÉCOMPOSITIOH DES nULGTIOIS BATIOHIELLES

EH nULCTIOIS SIMPLES.

Etant donnée une fonction rationnelle, on peut toujours la mettre sous la forme ^7—!» ?(^) ^^ ^{^) désignant

deux polynômes entiers; en effectuant la division et en désignant par E(x) le quotient, pary(x) le reste, on a

FTxi-^'t-^'"*"FT7)'

f{x) étant de degré inférieur à F(j:).

Une fonction rationnelle telle que - — ,'^ dans laquelle

f{x) est de degré inférieur àF{x),est ce que l'on appelle proprement une fraction rationnelle.

Théokème I. — Toute fraction rationnelle peut se décomposer en une somme de fractions plus simples de

l5a TRAITE D ALGEBRE.

la forme — > h. et a désignant des quantités indé^'

pendantes de x, et m un entier.

En efiety reprenons la formule de Lagrange,

., , F'.r) I , Ff.r) I

l'^ajx — a l'(|5).r — p

dans laquelle y(x) est une fonction qui, pour x = a, (3, ..., k, se réduit à a, i, ...,/, et dans laquelle F(x) désigne un polynôme de la forme

On peut écrire cette formule comme il suit :

Elle a lieu quels que soient a, |3, ..., ^,/(a)>yi(lS), --m/C^) et quel que soit x\ cela revient à dire qu*elle a lieu quel que soit F(x), a, j3, — , X désignant les racines de ¥[x) = o, et quelle que soit la fonctiony(x) de degré inférieur à F(x). En effet, la fonction /(a:) n'a été assujettie qu'à être de degré inférieur à F(x) et à devenir /(a) pour j; = a,/((3) pour j: = {i, . . ., et, comme/(a),y(|3), ..• sont arbitraires, y(j:) est une fonction arbitraire de degré inférieur à F(x). Le problème général de l'interpolation, dont nous n'avons du reste pas à nous occuper ici, consiste à déterminer une fonction quelconque qui admette n valeurs données pour n valeurs données de sa variable. Ainsi, en supposant 0r, |3, . . . , X différents, on peut poser

ffix] A B L

A, B, . . . , L désignant des quantités indépendantes de x. Si le degré de /(x) égalait ou surpassait celui de F(j;),