CHAPITRE V. l

il faudrait compléter cette formule par rintroduction d'une fonction entière E( x), et Ton aurait

r (j:j .r — oc ;c — p

Multiplions par les deux membres de celte for-

mule; elle devient

f[x] YAx) A B

F(.rj(^— «) X ■— OL (j: — a)* (x — ol)[^ — P)

D'après ce que nous venons de voir, tous les termes du second membre de cette équation, à partir du troisième, pourront se décomposer en fractions plus simples, et Ton aura un résultat de la forme

E|(j:) désignant une nouvelle fonction entière de x, quotient de E(x) par x — a, et A|, B|, ... désignant de

nouveaux coefficients constants: en multipliant par

les deux membres de cette nouvelle équation, on a

F[x;(x — a)* X — oc [x — a)' (j? — a)*

Bt

par une transformation analogue à celle de tout à Theurc, on arrive à la formule

]54 TRAITE DALGEOBE.

et ainsi de suite ; on trouve alors

/(x) __ , . A Ai

Vix) (x - a)'«-* "" *^'«-» l"^^ "^ (.r - a)''* "*■ (or - a)"-*

— ft

On peut maintenant multiplier les deux membres par -j n — I fois de suite, par » p — i fois de

suite, etc., et Ton arrivera alors à cette conclusion que toute fonction rationnelle est décomposable en un polynôme entier plus une série de fractions simples de la forme

' r,ï ^ désignant une racine du dénominateur ésale

[.r — ro)' ^ ^

à zéro, et i désignant un exposant égal ou inférieur au degré de multiplicité de cette racine.

-. r^ est ce que Ton appelle une fraction simple.

Théorème II. — Une fonction rationnelle ne peut se décomposer que d'une seule manière en un polynôme entier et une somme de fractions simples.

En effet, si Ton pouvait avoir à la fois

Cm'

ail