CHAPITRE
ur«
Or, si Ton fait x = a, le premier membre de cette formule devient infini; le second doit donc le devenir aussi, ce qui exige que l'un des binômes x — a', x — (3', ... soit nul pour X = a ou que Tune des quantités a!, jS', ... soit égale à a. Nous supposerons a! = ol\ mais alors il est bien clair que m = ni . En effet, si Ton avait ni' <^m, en multipliant les deux membres de la formule (6) par [x — a)*"', le premier membre serait encore infini pour x = a et le second serait fini. On verrait de même que l'hypothèse ///]>;/* est inadmissible; donc m = m'. Si l'on multiplie alors par [x — a)'" et si l'on faitx= a, il reste An»= am'\ on supprimant alors les premiers termes des deux membres de la formule (6), qui sont égaux, on procédera sur la nouvelle formule ainsi obtenue comme sur l'ancienne, et l'on démontrera, comme tout à l'heure, l'égalité de deux nouveaux termes, et ainsi de suite.
m. — SUR LA KÂinËBE DE DIBIftER LE CALCUL DES FBACTIOHS SIMPLES.
Dans le cas où le dénominateur de la fraction à décomposer ne contient que des facteurs simples, on peut faire usage de la formule
^ ^ F(.rj '^^V'[a) X — a'
mais on peut aussi faire usage de la méthode des coefficients indéterminés et poser
l56 TRAITÉ d'algèbre.
On déduit de là
on en conclut, pour x = a, /a =Alini— i— i =Ahm-^ i î— ^ = AF' a h
on retrouve ainsi
et par suite
Cette égalité ayant Heu pour x = «, (5, ..., X, c'està-dire pour plus de valeurs de x qu'il n'y a d'unités dans le degré dey(j:"), est une identité; en divisant alors par F(j:), on retrouve la formule (i).
Première application. — Soit à décomposer
En posant
on en conclut
x= A(x-f-i)-4-B(x— i); en faisant x = i , on a
I =: aA, d'où A = -:
en faisant j; = — i , on a au contraire
— 1 = — aB ou B=-M
GHAPITaE V. l57
d'où Ton déduit
du reste, Tapplication de la formule (i) aurait donné, en posant x^ — I = F(x),
Deuxième application. — La méthode des coefficients indéterminés s'applique encore dans le cas où le dénominateur a des facteurs multiples; ainsi, par exemple, considérons la fraction
(x— ij»{x + ij»(x— 2)' elle se développera de la manière suivante :
.r'— r-hi A A' A*'
(jr— I)*(x-Mj*(.r — 2J (x— i)» (j:— I.* x— i
(.r -h 1)* X -h I X — 2 En chassant les dénominateurs, on a
X* — xH- 1 = A(.r-4-l)'(.r — 2) -♦- A'(x — • l) (x + i)*{x — 2)
-4-A"(.r-i;«[.r-f-i)*(x — 2)4-B(x-i)»(.r— 2, B'(.r-hi)(.r-i)>(x — 2)+C(x-i)»(x-hi)».
Si Ton fait x = i , on a
En faisant x = — i , on a
3 = 4-24B, d'où B=^
JL »
l58 TRAITE D ALGEBaC.
En faisant j: = 2, on a
3 = 9C, d'où C=:^«
Si l'on remplace A, B, C par leurs valeurs, il vienl, réductions faites,
= 24A'(x-i)(x+i;--(j: — 2)-f-24A"(.r-i)«(a;-f-i)'(jr — 2) -f- 2 4 D' ( .r -4- I ) ( .r — I ) » ( j: — 2 ) ,
et, en divisant par (x — i)[x-h i){x — 2),
= 24 A' (x -f- 1 ) + 24 A"(-r — i) (^. + 1) + 94B'[x — i)*. Si l'on fait alors a* = i , on a
Si l'on fait x = — i , on a
io = 96B', B'=A.
Si enfin on fait x = o, en tenant compte des valeurs déjà trouvées, on a
7 = -6-24A"-f--, d'où A'^=-~, '2 48
et par suite
^* — .r -h I 1 I ai
(j-— i/;x-hij*(.r— 2j 4i.r — 1)3 4/j,.— i^« 4^(-=^ — 0
8x-rl)» 48(.r-4-i) 3(x— 2)
On peut quelquefois abréger les calculs comme il suit.
CHAPITRR V. l59
Posons
La fonction ^(x) est une fonction rationnelle qui a pour dénominateur ^(x); quant à son numérateur, il est évidemment de degré inférieur à cp(x), en sorte que, si l'on change x en z -f- a et si Ton multiplie par z*", on a
Amy A,„|, ... sont donc les termes du quotient de
-; r^ ordonné par rapport aux puissances croissantes
de z.
Troisième application. — Lorsque le dénominateur d'une fraction contient des facteurs imaginaires, la règle à suivre est toujours la même. Toutefois, il est bon d'observer que, si ces facteurs sont conjugués deux à deux, on peut faire disparaître les imaginaires en adoptant une nouvelle espèce de fractions simples.
Considérons, par exemple, la fraction réelle
fir) ^/(-r).
elle se décomposera de la manière suivante :
A-4-A\— I B-hBV— I
.r — a — S ^ — I X — OL-h p V — '
OvA-hMj^^i est égal à âl±bl:Z^ B + D'v'^^ est égal à — =Tî ces deux quantités ne diffèrent
l5o TRAITE D'ALGÉBBB.
donc que par le signe de ^ — i , ei Ton a
/{jc) __ A -4- A^ \f~ A — A^ yCn
c'est-à-dire, en réduisant les deux fractions écrites au même dénominateur,
/[:r)aA(.r — a) — 2A/p
On voit que deux facteurs imaginaires conjugués donnent
lieu à une fraction simple réelle de la forme -^ ;
en suivant le même mode de raisonnement que plus haut, on verrait que, si le dénominateur F(x) possède deux
facteurs imaginaires multiples d'ordre i conjugués, ttt — (
peut se mettre sous la forme
On peut encore ici employer la méthode des coefficients indéterminés, mais voici une méthode qui sera peut-être plus expéditive dans un certain nombre de cas. Considérons la fraction suivante,
dont le numérateur est censé de degré inférieur au dénominateur ; on posera l'identité
IA\ /(x) Mx + N /Ix)-(Mx+M)?ix)
CUAPITAK V. l5(
puis on déterminera Mx -f- N de telle sorte que
devienne divisible par [x — a )- -f- jS^ ; il suffira pour cela
d'exprimerque celte quantité est nulle pour a:=a-4-j3^ — i . En faisant
K^-^? \/^) = A -h B \f^, ? ( a -f- 13 v'~) = C + D \f^, on aura alors
A -h D \/~— (Ma -+- M|3 v/Zr7-^ n)(c -1- D \/^) = o.
d'où, égalant les coefficients de ^/ — i et les termes réels,
A — (Ma-4-N)C-f-DM(3 = o, B — M3C — (Ma-|-N)D=ro.
On tire de là pour M et N des valeurs finies, carie déterminant du système est (3(C^-hD^), qui ne saurait être nul, car (3 est différent de zéro et G et D ne sauraient être nuls à la fois si cp(a:) ne contient plus le facteur [x — a)*-|- (5-. On divisera alors les deux, termes de la dernière fraction qui figure dans le second membre de (A) par (x — a)^-hl3-, et Ton aura un résultat de la forme
[(x - a;« -f- S*] V.-r) ~ [(X ~ «)« + 13*]'' "^ [(X - «;« ^. is^^tï:^^
fi est de degré inférieur de deux unités à /"(a*), et par suite de degré inférieur à son dénominateur ; on est alors ramené
à décomposer f, r^ — ' ^>i»i , — r> M"! se traitera comme
la proposée et ainsi de suite.
Voici enfin une dernière méthode qui conduit assez rapidement au résultat.
