CHAPITRE V. i

nuls pour X = yj — i.

3ar* = ( Mx + N ) ( X — I ) 2x 4- M' X -h N' + M'(x — i),

et, en faisant x = y — i et en remplaçant M' et N' par leurs valeurs

On en conclut

— 3 = 2M — 2N — I -+- v^^{i — 2M — aN) et, en identifiant.

d'où

On a donc

(x'-hl)*(x — i) 4-^ — * 4**"^"' 2(x*-4-l)*

I¥. — A QUOI 8EBT Là DtCOlIPOSITIOH DES FEAGTIOHS

RATIOnELLESÎ

1° La décomposition des fractions rationnelles en fraction simples facilite la recherche de leurs dérivées successives, difficiles à obtenir sans cela. Les dérivées d'une fraction simple telle que -. r- sont, en effet,

— ffiA

2° Elle sert aussi à trouver les fonctions primitives des

l64 TRAITE D'ALGBBBE.

fractions rationnelles, la fonction primitive de étant

lofirf x — a) et celle de 7 --étant -, r=— ;•

Mais nous n'avons pas ici à insister sur ce point, qui est du ressort du Calcul intégral.

3° Enfin la décomposition des fractions rationnelles a surtout pour but, en Algèbre, de permettre d'effectuer le développement de ces fonctions en série.

Théouème I. — Toute fonction rationnelle ï- ;— r est dé-

veloppahle suivant les puissances croissantes de sa variable x, pour toutes les valeurs du module de x moindres que la plus petite (*) des racines de l'équation F(x) = o.

Toute fraction rationnelle - — - est^ au contraire, dévelo/?-

pable suii^ant les puissances décroissantes de sa variable x pour toutes les valeurs de la variable dont le module est supérieur à la plus grande des racines de F(x) =0.

Enfin, le dév^eloppement de ^ — r aura lieu à la fois 5itt-

vant les puissances ascendantes et descendantes de x lorsque x sera compris entre la plus grande et la plus petite des racines de F{x) = o.

En effet, soit

F(x) = (x — fl)'«(x -. ^)«(x — c)/'. . . ; on pourra écrire

(*) y appelle /)lus petite ou plus grande racine d'une équation celle qui a le plus petit ou le plus grand module, uniquement pour éviter les périphrases.

GliAPITRK V. l65

Or, si le module de x est moindre que ceux de a, i, . . . , on aura, par la formule du binôme (t. II, p. 1 25), le module

de - élant <^ i,

A(— l^' / jr\-' A(— l)'

[x — aY fi' \ (I ) u^

— 1 • • • se développeront d'une façon analogue, et, en

f{x] ajoutant les résultats, on aura le développement de ^ry— '•

Au contraire, si le module de x est supérieur à ceux

des racines a, 6, . . ., celui de - sera moindre que i , et Ton

aura

— ay x\ xj x'\^ X 1.2 x" J'

• • • se développera de la même façon et, par

[x-by

suite, '-^ — -. sera développable suivant les puissances décroissantes de X,

Il est clair enfin que, si x était, par exemple, supérieur

à a, inférieur ù h^ le développement de -— - - se composerait

de deux autres, ordonnés Tun suivant les puissances ascendantes, l'autre suivant les puissances descendantes de X.

Dans les deux premiers cas, il est clair que le développement pourra s'obtenir par la théorie de la division

(p. ii4).

l66 TAAITB D ALGEBRE.

NOTES ET EXERCICES