CHAPITRE VI

ligne sous la forme d'une difTérence de deux carrés par la

r 1 vv /X-*-Y\2 /X — Y\2 „ . ,,

formule Ai = f j — I 1 » et 1 on voit que 1 on

peut toujours ramener /^ à un ou à deux carrés, augmentés d'un polynôme/^ ne contenant plus que n — 1 on n — a variables. En procédant sur J* comme sur /, et ainsi de suite, on démontre le théorème

Théorème II. — De quelque manière que s^effectue la décomposition de f en carrés, on doit toujours trouver le même nombre de carrés positifs, négatifs ou nuls.

En effet, considérons deux groupes de fonctions lin éaîres et homogènes de j:i , j:2> • • • » -^z* indépendantes X| , X2, . . . , X/ et Y|, Y2, . . . , Yy, où i^j 'y les X ne sauraient s'annuler tous quand on suppose tous les Y nuls. En effet, les Y étant indépendants, on pourra calculer x^, X2 -, ^ » , Xj en fonction des Y et de ^y+i, . . . , ^/i, et on pourra exprimer les X en fonction des Y et de ^y+i, . . . , wC/j. Soit alors

Xjt = Xj Y| -+- ... -h Xy Yy -h Xj^iXj^i -+-... -h Xn J"rt,

Xi , ).2 désignant des constantes. Si les X s'annulaient avec les Y, on aurait i équations de la forme

qui, ayant lieu quels que soient xy+i, . . . , Xnt donneraient Xy.,.1 = 0, . . . ,)v;, = o: les X pourraient s'exprimer en fonction des Y qui sont en nombre moindre; les X ne seraient pas distincts.

Cela posé, soient

Ui)Uj, . . ., U/, V|, > 2, . . ., Vy, Xj^X;, . . ., Xjt, Yi, Yj, . • ., Y/

des fonctions linéaires et homogènes des x] supposons les U et les V distincts ainsi que les X et les Y, on aura

iH-y^/i, k-hlUn.

lyo TRAITK D*ALGÉDnE.

Je dis que Ton n'aura pas à la fois, quels que soient les x,

y — 1^ j .... -1- Cl ^ Y j ... Ty ,

ou

(r) U* -+- ... H- U? - V» - ... - V; = XJ -h ... -*- X« - YJ - ... - Y ^

si l'on n'a pas / = A*, y = /. En effet, supposons / < A*; on aurait aussi i -h / <^ A -h / ; mais, si l'on suppose nuls les U et les Y, les X et les Y qui sont indépendants et en nombre supérieur aux U et aux Y ne sauraient s'annuler à la fois 5 c'est cependant ce qui aurait lieu en vertu de (i) qui devient

XJ -r- X« -^ . . . -+- X* H- VJ H- . . . -4- V; = O

et ne saurait avoir lieu que si tous les X sont nuls.

n. — DES SUBSTITUTIONS ORTHOGONALES.

Lorsque dans une fonction/ (xi, .rs, . . ., .r„) on pose

les quantités y étant indépendantes des x et des Ç, on dit que Ton fait une substitution linéaire et la fonction /devient F( J, , $2, . . . , Ç« ) ; F est dite transformée dey par la substitution (i). Le module d^une substitution telle que (i) est le déterminant 2 lii 71, 722 . • • ynn ^e ses coefficients.

La substitution (i) sera dite orthogonale quand on aura

( ^ ) 7i/7iy -^ 72/7ty -»-..• + 7/i/ 7«y = o P^"»* ' -^

Les substilutions orthogonales joinsscnt des propriétés suivantes :

1° Elles transforment la fonction j- j -h j:J -+- . . . 4- ^J

En effet, la première fonction devient SP/y ÇiÇy, et l'on reconnaît que P/y et P// sont précisément les premiers membres de (2) et (3).

3" En multipliant la première équation (i) par Yi/, la seconde par Vji, etc., et en ajoutant en ayant égard à (2) et (3), on a

(4) ?/ = Ti/^i H- Yî/^î -+-...-+- Yfl/^«»

et il est facile de s'assurer que, si Ton changeait dans cette formule jr en ç et vice versa y on obtiendrait de nouvelles formules de substitution orthogonales. En effet, nous avons vu que, en verUi de (1), (2), (3), on avait

Ç{ H- Çj -4- . . . -t- Çrt =^ ^l "^ «^î -î- . • . H- Xfi

identiquement. Remplaçons dans cette formule les \ par leurs valeurs (4); le cûclïîcient de XiXj sera

c'est-à-dire nul si i^j et l'unité si i=j. Les formules (4) sont donc celles d'une substitution orthogonale.

m. — BÉDUGTIOH A UHE SOMME DE GABBÉ8 PAB UHE SUBSTITUTIOH