djTi

= *l^lî»

on en tire

I df{xx\. ...) ^ ^ I àfJTxx, ...)

= Sx{xx\X^x-\- XitXii-^ , ..); on aurait de môme

I àf{X^Xy •••^ ,, x ' «l/'''^îl« •••) ^

•i t^Xji a ox^

= «j(^iia:ji-f-T|,T,j-K.. .).

En vertu d^un théorème connu (*), les deux premiers membres de ces équations sont égaux : on en conclut

et comme s^^s^ par hypothèse,

(6) TiiXii-h XiiXii-^, , .-^XinXtn = 0, C.Q.F.D.

Théorème III. — Si les aij sont réels, Véquation 8(5) = o, aura toutes ses racines réelles.

En eflet, soit, s'il est possible, 5| une racine imaginaire, il y aura une racine 52 conjuguée de celle-ci, et x^, x^, ... seront respectivement conjugués de Xzi , ^22? • • • > mais St et 52 étant conjugués, c'est-à-dire inégaux, la relation (6) aura lieu : elle revient à

( mod .r, 1 )* -T- ( mod a^u )* -f- = 0,

ce qui ne saurait avoir lieu sixn, ^12^ • • • n'ont pas des modules nuls, c'est-à-dire ne sont pas nuls, ce qui est absurde, puisque

wP J 1 ~v •*■' T 2 "" » . • — 1 •

0 (5) = o ne saurait donc avoir de racines imaginaires.

Théorè:me IV. — Si l'équation 0(5) = 0 a une racine double, tous les mineurs de 0(5) sont nuls quand on y remplace s par cette racine,

(*) Co thêorèino pout s'énoncer ainsi :

ai f{x^^ iTj, ..., x^) désigne une fonction du second degri\ on a

d/(g;,dç;, ...) df{x\yx\, ...)

__ , àj\x,y x„ ...) àf{x^, x^y ...)

dx^ ' ôx^

Il se démontre en développant /(a*, 4- Xj, x, -f- ar',, ...), par rapport aux puissances de r,, x^, ... ou de x\f x\y ..., par la formule de Tuyior * dans l'un des cas, on trouve

dans l'autre.