L. — Algèbre, III

lyS TRAITÉ d'algèbre.

seconde par ^ ; — > • • • et en aioutant on a

^ oaiiOaii "*

Oaix oa\i Oaxxoait

Si Ton observe que le premier membre est nul en vertu du théorème IV et que x\^ x'^^ ... sont proportionnels à leurs coefficients, il vient

\da\J "*" \daxxôaxj

d'où

datjdaki et ainsi de suite. Donc :

Théorème VI. — Si 6(5) a une racine d^ ordre de multiplicité i, cette racine annule les mineurs d^ ordre i-f-i de^{s).

Réciproquement, si les mineurs d^ ordre m — i de^(s) sont nuls pour s = Siy^(s) = o a Si pour racine d^ ordre de multiplicité m.

En effet,

^mà ùau dOjj oakk • • .

Maintenant concluons. A chaque racine simple de 8(5) = o correspond un système unique et bien déterminé de^i, x^i ... 1 Xff, A une racine double de 8(5) = o correspondent une infinité de systèmes de valeurs de x^^ x-^^ ..., Xn] mais, comme tous les mineurs du second ordre de 6 ne sont pas nuls, sans quoi la racine considérée serait triple, on pourra choisir arbitrairement x^ par exemple, et les autres valeurs x^, ^3, ... seront déterminées. A une