CHAPITRE VI

racine triple de 6(5) correspondront une infinité de systèmes de valeurs de ^Ci , j^j, . . . , j:^ ; ^1 et x^ pourront être choisis arbitrairement, mais alors jTs, x^^ .... Xn seront bien déterminées, etc. ; donc :

Théorème VII. — Les équations (2) ou (3) auront toujours au moins n systèmes de solutions.

Théorème VIII. — Soient

^11» -^Ht .... ^l/i»

•^îlï '^îii •••. ^im

^/ili ^nti ..•» ^nn

n systèmes de solutions des équations (3); si l'on pose

^n =^niyi -^ ^mXi -^' . »-^ JPnnyn,

la fonction f r=: Y^aijXiXj se transformera en

En eflet, en faisant le changement de variable en question, on a

(I l) S atjXiXj = 2 a/y (X/j y^ -H X/, J/", . . . )(Xy, ^^i -+- Xy,^, . . )

Dans le second membre, le coeiTicient dejKj est

celui de Vpt^v est

( 1 3 ) 2 atjXi^Xj^ = 6av ;

or on a

ô,4v = 2 aijxi^xj^, = - a?iv •— — E

, I ^ à/{Xtn, Xfn, .. . )

3 axta

iSo TRAITÉ D*ALGEBRE.

OU, en verlu de (2),

Oq déduit de là el du théorème II

^{iv=o, si fx^

b^ = 5ji, si p. = v.

T-ies formules (11), (12) et(i3) donnent alors

Donc YtOijXiXj =^f pourra se décomposer en une somme de n carrés j respectivement multipliés par les racines de l'équation en s.

Le dernier terme de l'équation 0(5) = o, qui est le déterminant A = S±: ajia22* • '(^\ni est ce que nous appellerons le discriminant de la fonction /== ZaïjXiXj,